Question

14．如图所示．一只一端封闭的粗细均匀的玻璃管开口向上，用一段长度为h的水银柱密封一定童的理想气体，玻璃管静止时气柱长度为L（图甲）．现将该玻璃管从倾角为θ的斜面顶端由静止释放，并沿斜面向下运动（图乙）．已知玻璃管与斜面之间的动摩擦因数为μ．水银密度为ρ．重力加速度为g，大气压强为p₀，气体温度不变，斜面足够长．求：
（i）玻璃管竖直静止时，气体的压强；
（ii）玻璃管在斜面上运动时，玻璃管内气柱的长度．

Answer 1

分析 （1）对水银柱进行受力分析，结合共点力的平衡即可求出气体的压强；
（2）玻璃管沿斜面运动的过程中做匀加速直线运动，设出加速度，将受力分析与牛顿第二定律结合，求出水银柱的加速度的表达式，进而求出气体的压强，最后由玻意耳定律求出气体的长度．

解答 解：（1）设玻璃管竖直放置时气体的压强为P₁，水银柱受到重力、大气压力与气体对水银柱的向上的压力，由力的平衡得：
P₀S+mg=P₁S  ①
又：mg=ρV=ρSh  ②
联立①②得：P₁=P₀+ρgh  ③
（2）玻璃管沿斜面运动的过程中做匀加速直线运动，设加速度为a，根据牛顿第二定律得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma
得：a=g（sinθ-μcosθ）
设玻璃管在斜面上运动的过程中气体的压强是P₂，气柱的长度是L′，研究水银柱的受力的情况，根据牛顿第二定律得：
P₀S+mgsinθ-P₂S=ma
解得：P₂=P₀+ρgh•μcosθ
由玻意耳定律：P₁L=P₂L′
解得：$L′=\frac{（{P}_{0}+ρgh）L}{{P}_{0}+μρgh•cosθ}$
答：（i）玻璃管竖直静止时，气体的压强是P₀+ρgh；
（ii）玻璃管在斜面上运动时，玻璃管内气柱的长度$\frac{（{P}_{0}+ρgh）L}{{P}_{0}+μρgh•cosθ}$．

点评 利用理想气体状态方程解题，关键是正确选取状态，明确状态参量，尤其是正确求解被封闭气体的压强，这是热学中的重点知识，要加强训练，加深理解．