Question

11．2010年10月1日，“嫦娥二号”成功发射，已知“嫦娥二号”绕月飞行轨道近似圆形，距离月球表面高度为H，飞行周期为T，月球的半径为R，万有引力常量为G．试求：
（1）月球的质量M；
（2）如果在月球表面做平抛运动实验，物体抛出时离地面高度为h（h＜R），水平位移为L，则物体抛出时初速度是多少？

Answer 1

分析 （1）“嫦娥二号”的轨道半径r=R+H．根据月球对“嫦娥二号”的万有引力提供“嫦娥二号”的向心力，列方程求解月球的质量．
（2）根据平抛运动的规律求出平抛的初速度．

解答 解：（1）令月球质量为M，根据万有引力提供圆周运动向心力有：$G\frac{mM}{（R+H）^{2}}=m（R+H）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得月球的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）在月球表面重力等于万有引力有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
可得月球表面重力加速度为：g=$G\frac{M}{{R}^{2}}=\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$
根据平抛运动知识知：在月球表面h处将物体水平抛出，物体水平位移为：L=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
所以物体水平抛出的速度为：${v}_{0}=\frac{L}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}=\frac{L}{\sqrt{\frac{2h}{\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}}}}$=$\frac{2π（R+H）L}{TR}\sqrt{\frac{R+H}{2h}}$
答：（1）月球的质量为$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）如果在月球表面做平抛运动实验，物体抛出时离地面高度为h（h＜R），水平位移为L，则物体抛出时初速度是$\frac{2π（R+H）L}{TR}\sqrt{\frac{R+H}{2h}}$．

点评 本题考查应用万有引力定律解决实际问题的能力，关键要建立模型，理清思路，重力加速度g是联系天体运动和星球表面物体的运动的桥梁．