Question

16．（1）如图1所示，固定于水平面上的金属框架abcd，处在竖直向下的匀强磁场中．金属棒MN沿框架以速度v向右做匀速运动．框架的ab与dc平行，bc与ab、dc垂直．MN与bc的长度均为l，在运动过程中MN始终与bc平行，且与框架保持良好接触．磁场的磁感应强度为B．
a．请根据法拉第电磁感应定律E=$\frac{△Φ}{△t}$，推导金属棒MN中的感应电动势E；
b．在上述情景中，金属棒MN相当于一个电源，这时的非静电力与棒中自由电子所受洛伦兹力有关．请根据电动势的定义，推导金属棒MN中的感应电动势E．
（2）为进一步研究导线做切割磁感线运动产生感应电动势的过程，现构建如下情景：如图2所示，在垂直于纸面向里的匀强磁场中，一内壁光滑长为l的绝缘细管MN，沿纸面以速度v向右做匀速运动．在管的N端固定一个电量为q的带正电小球（可看做质点）．某时刻将小球释放，小球将会沿管运动．已知磁感应强度大小为B，小球的重力可忽略．在小球沿管从N运动到M的过程中，求小球所受各力分别对小球做的功．

Answer 1

分析 （1）a、先求出金属棒MN向右滑行的位移，得到回路磁通量的变化量△Φ，再由法拉第电磁感应定律求得E的表达式；
b、棒向右运动时，电子具有向右的分速度，受到沿棒向下的洛伦兹力，f=evB，棒中电子在洛伦兹力的作用下，电子从M移动到N的过程中，非静电力做功W=evBl，根据电动势定义E=$\frac{W}{q}$解得E．
（2）小球随管向右运动的同时还沿管向上运动，洛伦兹力不做功，将洛伦兹力进行正交分解，小球在水平方向做匀速运动，管的支持力F对小球做正功．

解答 解：（1）a．如图1所示，在一小段时间△t内，金属棒MN的位移为：△x=v△t

这个过程中线框的面积的变化量为：△S=l△x=lv△t
穿过闭合电路的磁通量的变化量为：△Φ=B△S=Blv△t
根据法拉第电磁感应定律为：E=$\frac{△Φ}{△t}$
解得：E=Blv
b．如图2所示，棒向右运动时，电子具有向右的分速度，受到沿棒向下的洛伦兹力为：f=evB
电子在f的作用下，电子从M移动到N的过程中，非静电力做功为：W=evBl
根据电动势定义为：E=$\frac{W}{q}$
解得：E=Blv
（2）小球随管向右运动的同时还沿管向上运动，其速度如图3所示．小球所受洛伦兹力f_合如图4所示．将f_合正交分解如图5所示．
球除受到洛伦兹力f_合外，还受到管对它向右的支持力F，如图6所示．
洛伦兹力f_合不做功：W_f合=0
沿管方向，洛伦兹力f做正功为：W₁=fl=qvBl
垂直管方向，洛伦兹力f′变力，做负功为：W₂=-W₁=-qvBl
由于小球在水平方向做匀速运动，则有：F=f′
因此，管的支持力F对小球做正功为：W_F=qvBl
答：（1）根据法拉第电磁感应定律E=$\frac{△Φ}{△t}$推导金属棒MN中的感应电动势E见上；根据电动势的定义，推导金属棒MN中的感应电动势E见上．
（2）管的支持力F对小球做正功为qvBl．

点评 本题要掌握推导感应电动势E=BLv两种方法，建立物理模型，理清思路是关键．对于洛伦兹力，要抓住其不做功的特点，也可以运用正交分解法研究：两个分力做功的代数和为零，从而求出支持力做功．