Question

17．如图所示为一质量为M的球形物体，密度均匀，半径为R，在距球心为2R处有一质量为m的质点，若将球体挖去一个半径为$\frac{R}{2}$的小球（两球心和质点在同一直线上，且挖去的球的球心在原来球心和质点连线之间，两球表面相切），则：
（1）球体挖去部分的质量是多大？
（2）剩余部分对质点的万有引力的大小是多少？

Answer 1

分析 根据体积关系，求出挖去部分的质量．
用没挖之前球对质点的引力，减去被挖部分对质点的引力，就是剩余部分对质点的引力．

解答 解：（1）根据m=$ρV=ρ\frac{4}{3}π{r}^{3}$知，挖去部分的半径是球半径的一半，则质量是球体质量的$\frac{1}{8}$，
所以挖去部分的质量$M′=\frac{1}{8}M$．
（2）没挖之前，球体对m的万有引力${F}_{1}=G\frac{Mm}{4{R}^{2}}$，
挖去部分对m的万有引力${F}_{2}=G\frac{M′m}{（\frac{3R}{2}）^{2}}=\frac{GMm}{18{R}^{2}}$，
则剩余部分对质点的引力大小F=F₁-F₂=$\frac{7GMm}{36{R}^{2}}$．
答：（1）球体挖去部分的质量为$\frac{1}{8}M$；
（2）剩余部分对质点的万有引力的大小是$\frac{7GMm}{36{R}^{2}}$．

点评 本题主要采用割补法的思想，根据整体球M在与小球m的引力等于割掉的小球与小球m的引力和剩余空腔部分与小球m的引力的矢量和，掌握割补思想是解决本题的主要入手点，掌握万有引力定律公式是基础．