题目内容
2．
如图所示，质量为m的小球置于内壁光滑的正方体盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，问：（1）要使盒子在最高点时盒子与小球之间刚好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
（2）若盒子以第（1）问中周期的$\frac{1}{2}$做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示与O点位于同一水平面位置时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力为多大？（已知重力加速度为g）
分析 （1）在最高点，核子与小球之间无作用力，可知靠重力提供向心力，结合牛顿第二定律求出线速度，从而得出盒子做匀速圆周运动的周期．
（2）当盒子运动到图示与O点位于同一水平面位置时，竖直方向上合力为零，水平方向合力提供向心力，结合牛顿第二定律进行求解．
解答 解：（1）设盒子的运动周期为T0，依题意，小球在最高点仅受重力作用．据牛顿运动定律得：
$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$ ①
又$v=\frac{2πR}{{T}_{0}}$ ②
解①②两式得：${T}_{0}=2π\sqrt{\frac{R}{g}}$．
（2）设此时盒子的周期为T，则此时小球的向心加速度为：
${a}_{n}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$ ④
由第一问知：$g=\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}R$ ⑤
依题意知$T=\frac{{T}_{0}}{2}$，联立④⑤两式得：an=4g ⑥
设小球受盒子右侧面的作用力为F，受下侧面的作用力为N，根据牛顿运动定律知：
在水平方向上：F=man 即 F=4mg ⑦
在竖直方向上：N-mg=0 即 N=mg ⑧
所以小球对盒子的右侧面和下侧面有作用力，作用力大小分别为4mg和mg．
答：（1）该盒子做匀速圆周运动的周期为$2π\sqrt{\frac{R}{g}}$；
（2）小球对盒子的右侧面和下侧面有作用力，作用力大小分别为4mg和mg．
点评 解决本题的关键知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，知道最高点作用力为零时，靠重力提供向心力．
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