Question

18．如图所示，足够长的平行金属导轨MN、PQ平行放置，间距为L，与水平面成θ角，导轨与固定电阻R₁和R₂相连，且R₁=R₂=R．R₁支路串联开关S，原来S闭合，匀强磁场垂直导轨平面斜向上．有一质量为m的导体棒ab与导轨垂直放置，接触面粗糙且始终接触良好，导体棒的有效电阻也为R．现让导体棒从静止释放沿导轨下滑，当导体棒运动达到稳定状态时速率为v，此时整个电路消耗的电功率为重力功率的$\frac{3}{4}$．已知当地的重力加速度为g，导轨电阻不计．试求：
（1）在上述稳定状态时，导体棒ab中的电流I和磁感应强度B的大小；
（2）如果导体棒从静止释放沿导轨下滑x距离后运动达到稳定状态，在这一过程中回路产生的电热是多少？
（3）断开开关S后，导体棒沿导轨下滑一段距离后，通过导体棒ab的电量为q，求这段距离是多少？

Answer 1

分析 （1）当导体棒匀速运动时达到稳定状态，此时速率为V，重力功率为mgVsinθ．由E=BLV、I=$\frac{E}{{R}_{总}}$、P_电=I²R_总，得到回路的总电功率P_电，根据电功率为重力功率的$\frac{3}{4}$，列式求磁感应强度B．并求出通过ab棒的电流I；
（2）根据重力功率等于电功率与克服摩擦力做功功率之和，列式求出摩擦力大小，由能量守恒求回路中产生的电热；
（3）S断开后，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=It，得到电量q与距离的关系，即可求出距离．

解答 解：（1）当导体棒以速度v匀速下滑时电路中的总电阻为：R_总=$\frac{3}{2}$R
感应电动势为：E=BLv）
导体棒中的电流为：I=$\frac{E}{{R}_{总}}$
总电功率为：P_电=I²R_总
重力的功率为：P_重=mgv sinθ
根据题意有：P_电=$\frac{3}{4}$P_重
解得：B=$\frac{3}{2L}$$\sqrt{\frac{mgRsinθ}{2v}}$，I=$\sqrt{\frac{mgvsinθ}{2R}}$
（2）设导体棒与导轨间的滑动摩擦力大小为f，根据能的转化和守恒定律可知：
 则有 $\frac{1}{4}$mgvsinθ=fv
所以：f=$\frac{1}{4}$mgsinθ
根据能的转化和守恒定律可知：mg xsinθ=fx+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+Q
解得：Q=$\frac{3}{4}$mgsinθ•x-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
（3）S断开后，回路的总电阻为：R_总′=2R
设这一过程的时间为△t，回路中感应电动势的平均值为 $\overline{E}$，导体棒中感应电流的平均值为$\overline{I}$，导体棒沿导轨下滑的距离为S，根据题意有：
 q=$\overline{I}$△t
根据法拉第电磁感应定律有：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$
又△Φ=BLS，$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R{′}_{总}}$
联立解得：S=$\frac{4q}{3}$$\sqrt{\frac{2vR}{mgsinθ}}$
答：
（1）在上述稳定状态时，导体棒ab中的电流I为$\sqrt{\frac{mgvsinθ}{2R}}$，磁感应强度B的大小为$\frac{3}{2L}$$\sqrt{\frac{mgRsinθ}{2v}}$；
（2）如果导体棒从静止释放沿导轨下滑x距离后运动达到稳定状态，在这一过程中回路产生的电热是$\frac{3}{4}$mgsinθ•x-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$．
（3）断开开关S后，导体棒沿导轨下滑一段距离后，通过导体棒ab的电量为q，这段距离是$\frac{4q}{3}$$\sqrt{\frac{2vR}{mgsinθ}}$．

点评 解答本题关键是通过分析功率关系，求出磁感应强度和摩擦力，是电磁感应与电路结合的题目，明确电路的结构解决问题．同时，对于感应电量，要很熟练地根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=It进行推导．