Question

2．如图所示，固定的光滑圆弧轨道ACB的半径为0.8m，A点与圆心O在同一水平线上，圆弧轨道底端B点与圆心在同一竖直线上．C点离B点的竖直高度为0.2m．物块从轨道上的A点由静止释放，滑过B点后进入足够长的水平传送带，传送带由电动机驱动按图示方向运转，不计物块通过轨道与传送带交接处的动能损失，物块与传送带间的动摩擦因数为0.1，g取10m/s²．
（1）求物块从A点下滑到B点时速度的大小；
（2）物块刚运动到B点时，所受支持力与物块重力之比；
（3）若物块从A点下滑到传送带上后，又恰能返回到C点，求物块在传送带上第一次往返所用的时间．

Answer 1

分析 （1）研究物块从A运动到B的过程，由机械能守恒定律或动能定理求物块从A点下滑到B点时速度的大小；
（2）在B点，由支持力和重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出支持力，再求得支持力与物块重力之比；
（3）物块滑到传送带上后，先向右匀减速，速度减至零后再反向匀加速最后匀速运动到B点，根据牛顿第二定律和运动学规律可得时间．

解答 解：（1）设B点速度为v_B，物块从A运动到B的过程，由动能定理得：
          mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²-0
 则  v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$m/s=4m/s
（2）在B点，由牛顿第二定律得
   F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
则得 F_N=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=m×10+m×$\frac{{4}^{2}}{0.8}$=30m=3mg
所以支持力与物块重力之比为 F_N：mg=3：1
（3）物体从B点滑上传送带后向右做匀减速直线运动，再反向加速到和传送带相同速度，然后一直匀速运动到返回B点．
    ①设从B点向右匀减速运动的时间为t₁，位移为x₁，已知v_B=4m/s，v=0，a=$\frac{μmg}{m}$=μg=1m/s²
 由  v=v₀+at，得 t₁=$\frac{{v}_{B}}{a}$=$\frac{4}{1}$=4s
x₁=$\frac{{v}_{B}}{2}{t}_{1}$=$\frac{4}{2}×4$m=8m
    ②物体返回时恰好能回到C点，设传送带速度为v，从B到C的过程，由动能定理得
-mgh=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
则 v=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.2}$=2m/s
设物体向左匀加速的时间为t₂，匀加速的位移为x₂，加速度仍为 a=μg=1m/s²
则t₂=$\frac{v}{a}$=$\frac{2}{1}$s=2s  
x₂=$\frac{v}{2}{t}_{2}$=$\frac{2}{2}×2$m=2m   
③返回B时前匀速运动的位移 x₃=x₁-x₂=8m-2m=6m
匀速运动的时间 t₃=$\frac{{x}_{3}}{v}$=$\frac{6}{2}$s=3s
所以物体在传送带上第一次往返的时间 t=t₁+t₂+t₃=（4+2+3）s=9s
答：
（1）物块从A点下滑到B点时的速度为  4m/s；
（2）物块刚运动到B点时，所受支持力与物块重力之比为3：1；
 （3）物块在传送带上第一次往返所用的时间为9s．

点评 本题的关键要分析清楚物体的运动情况，把握每个过程和状态的物理规律，对于物体在传送带上的运动情况，要通过计算分析物体反向运动的过程．