Question

2．如图所示，质量为m的正方体小滑块从高为h、倾角α=53°的斜面顶端A点由静止释放，运动到斜面底端B点后进入一半径为R的$\frac{1}{2}$光滑细圆管内（B点处有一段长度可忽略的圆弧，圆管内径略大于小滑块的边长），已知小滑块在运动过程中始终受到一水平向左的外力F=$\frac{3}{4}$mg作用，g为重力加速度，小滑块恰好能到达D点，OD与竖直直径BC的夹角β=37°，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）小滑块第一次到达B点时对细圆管底壁的压力大小
（2）小滑块与斜面间的滑动摩擦力的大小．

Answer 1

分析 （1）小滑块始终受到重力mg和外力F作用，相当于在一等效重力场中运动．等效重力与竖直方向夹角为37°斜向左下方．小滑块在圆管中运动时，等效最高点为D点，小滑块恰好能到达D点，则小滑块在D点的速度 v_D=0．从B点到D点的过程，运用动能定理可求得B点的速度，再由向心力公式求小滑块第一次到达B点时细圆对小球的支持力，从而得到压力．
（2）从A到B的过程，运用动能定理列式，可求得滑动摩擦力的大小．

解答 解：（1）小滑块始终受到重力mg和外力F作用，相当于在一等效重力场中运动．
等效重力与竖直方向夹角为37°斜向左下方．小滑块在圆管中运动时，等效最高点为D点，小滑块恰好能到达D点，则小滑块在D点的速度 v_D=0．
从B点到D点的过程中，由动能定理得：
-FRsinβ-mgR（1+cosβ）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
可得：v_B=$\frac{3}{2}\sqrt{2gR}$
小滑块第一次到达B点时，由牛顿第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
得：N=5.5mg
由牛顿第三定律得小滑块对细圆管的压力大小为：N′=N=5.5mg．
（2）从A到B的过程，运用动能定理得：mgh-F$\frac{h}{tanα}$-f$\frac{h}{sinα}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
得：f=$\frac{7mg}{20}$-$\frac{9mgR}{5h}$
答：（1）小滑块第一次到达B点时对细圆管底壁的压力大小是5.5mg．
（2）小滑块与斜面间的滑动摩擦力的大小是$\frac{7mg}{20}$-$\frac{9mgR}{5h}$．

点评 正确对滑块进行受力分析和做功分析，找出等效最高点和临界速度是关键．要学会运用动能定理求解物体的速度．