Question

19．如图所示，虚线MN 上方有平行于纸面的匀强电场，电场强度大小为E，方向与MN成45°，虚线MN下方为方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．在电场中的P点由静止释放一质量为m、电荷量为q的带正电粒子A，粒子经过电场加速后，从MN上的Q点进入磁场，从MN上的R点返回电场，经电场偏转后又恰好回到Q点，不计粒子的重力．求：
（1）求PQ间的距离；
（2）求粒子A先后两次经过Q点的时间间隔；
（3）若粒子A从R点进入电场时，在QR中点的正上方电场中由某处由静止释放一个与粒子A完全相同的粒子B，结果两个粒子在云端过程中相碰，则粒子B释放的位置离MN的距离是多少？两粒子在何处相碰？

Answer 1

分析 （1）粒子先在电场中做匀加速直线运动，进入磁场后做匀速圆周运动，出电场后做类平抛运动，结合动能定理、圆周的半径公式以及类平抛运动的规律进行求解，得出PQ间的距离．
（2）根据粒子在磁场中运动的周期，结合圆心角得出粒子在磁场中的运动时间，根据运动学公式求出类平抛运动的时间，从而得出A先后两次经过Q点的时间．
（3）在QR中点的正上方电场中由某处由静止释放一个与粒子A完全相同的粒子B，两粒子相碰，可知两粒子在沿电场方向上运动的距离相等，即释放的粒子B的位置一定在A再次进入电场时的速度方向延长线上，根据几何关系求出粒子B释放的位置离MN的距离，以及确定出在何处相碰．

解答 解：（1）粒子A在电场中做加速运动，根据动能定理有：$qEL=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
粒子A在磁场中做匀速圆周运动运动，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
由几何关系可知：${s}_{QR}=\sqrt{2}r$，
粒子A再次进入电场后做类平抛运动，有：s_QRcos45°=vt₂，
${s}_{QR}sin45°=\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}$，a=$\frac{qE}{m}$，
联立解得：L=$\frac{mE}{8q{B}^{2}}$，r=4L=$\frac{mE}{2q{B}^{2}}$．
（2）粒子A在磁场中运动的时间为：${t}_{1}=\frac{3}{4}×\frac{2πm}{qB}=\frac{3πm}{2qB}$，
再次进入电场后，在电场中运动的时间为：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2r}{a}}=\frac{m}{qB}$，
因此粒子A先后两次经过Q点的时间间隔为：t=t₁+t₂=$（1+\frac{3π}{2}）\frac{m}{qB}$．
（3）由运动的分解可知，在粒子A从R点再次进入电场时，在电场中某点释放的粒子B要与粒子A相碰，则释放的粒子B的位置一定在A再次进入电场时的速度方向延长线上，若粒子B要在QR中点上方某位置释放，由几何关系可知：
该位置离MN的距离为：$x=\frac{\sqrt{2}}{2}r=\frac{\sqrt{2}mE}{4q{B}^{2}}$．
两粒子刚好在Q点相碰．
答：（1）PQ间的距离为$\frac{mE}{8q{B}^{2}}$；
（2）粒子A先后两次经过Q点的时间间隔为$（1+\frac{3π}{2}）\frac{m}{qB}$；
（3）粒子B释放的位置离MN的距离是$\frac{\sqrt{2}mE}{4q{B}^{2}}$，两粒子刚好在Q点相碰．

点评 本题考查带电粒子在电场、磁场中两运动模型：匀速圆周运动与类平抛运动，及相关的综合分析能力，以及空间想像的能力，应用数学知识解决物理问题的能力．