Question

14．如图1所示在生产车间的流水线上，有一装货物的小车从倾角为θ的光滑斜面上滑下，撞击挡板后货物被工人取走．为了减小对挡板的冲击，某同学设想了一个电磁缓冲装置，在小车的底部固定与小车前端齐平、匝数为n、连长为L、总电阻为R的正方形闭合线圈；在斜面的下蹩脚加上宽度同为L的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直斜面向框的下边离底部挡板距离为d处静止释放，线圈进入磁场后，小车立即做减速运动，在撞击挡板前已经匀速运动．求：

（1）线框刚进入磁场时的速度v₁；
（2）小车在磁场中匀速运动时的速度v₂；若采用适当粗些的导线绕制线框，保持匝数、边长、形状不变，能否减少小车匀速运动的速度v₂，从当增大缓冲的效果？请通过计算加以说明；
（3）小车运动过程中线框产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）对小车整体分析，从静止释放到进入磁场，运用动能定理，求出线框刚进入磁场时的速度；
（2）抓住重力沿斜面方向的分力等于安培力，结合切割产生的感应电动势公式、欧姆定律和安培力公式求出匀速运动的速度表达式，从而分析判断．
（3）对整个过程运用能量守恒，求出小车运动过程中线框产生的焦耳热．

解答 解：（1）小车整体下滑（d-L进入磁场）：$（{m_1}+{m_2}）gsinθ•（d-L）=\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}）v_1^2-0$，
解得：$v{\;}_1=\sqrt{2g（d-L）sinθ}$．
（2）在磁场中匀速时：（m₁+m₂）gsinθ=nBIL，
其中：$I=\frac{E}{R}$，E=nBLv₂
解得：${v_2}=\frac{{（{m_1}+{m_2}）gRsinθ}}{{{n^2}{B^2}{L^2}}}$．
分析：由上式${v_2}=\frac{{（{m_1}+{m_2}）gRsinθ}}{{{n^2}{B^2}{L^2}}}$，当采用粗的导线时，即截面积s变大，根据：$R=ρ\frac{4Ln}{s}$，m₂=ρ_密4Lns可知：m₂R不变，m₁R减少，故v₂减少，所以能增大缓冲的效果．
（3）根据能量守恒：$Q=（{m_1}+{m_2}）gsinθ•d-\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}）{v_2}^2$，
解得：$Q=（{m_1}+{m_2}）gdsinθ-\frac{{{{（{m_1}+{m_2}）}^3}{g^2}{R^2}{{sin}^2}θ}}{{2{n^4}{B^4}{L^4}}}$．
答：（1）线框刚进入磁场时的速度为$\sqrt{2g（d-L）sinθ}$；
（2）能减少小车匀速运动的速度，增大缓冲效果．
（3）小车运动过程中线框产生的焦耳热为（m₁+m₂）gdsinθ-$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{n}^{4}{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题要能正确分析小车及线框的受力情况，根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律熟练推导安培力与速度的关系式是关键．解题时要注意线框的匝数．