Question

10．如图所示，水平地面左侧有光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道AB，半径R=1.8m，质量为M的木板静置于圆弧轨道下端，且木板上表面恰好与圆弧轨道最低点B相切，B点在圆心O正下方．质量为m的小物块（可视为质点）从圆弧轨道最高点A处从静止开始释放，小物块恰好能到达木板右端．已知：m=M，物块与木板间动摩擦因数μ₁=0.5，木板与水平面间动摩擦因数μ₂=0.2，重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）木板长度L；
（2）木板在水平地面运动时间t．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律可求得物体到达B点时的速度，再对物体和木板受力分析，根据牛顿第二定律求解各自的加速度，再根据运动学公式即可求得木板的长度；
（2）木板与物块达到共同速度后一起以相同的加速度运动，根据牛顿第二定律可求得加速度，再根据运动学公式即可求得时间．

解答 解：（1）设小物块滑至B点时速度大小为v₀； 由机械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=6m/s；
物块受木板动摩擦力f₁=μ₁mg；
 运动加速度大小为a1
有f₁=ma₁
解得：a₁=5m/s²；
木板受地面动摩擦力f₂=μ₂（M+m）g；
运动加速度大小为a₂； 有
f₁-f₂=Ma₂
解得：a₂=1m/s²；
设历时t₁木板与物块达到共同速度v；
有v=v₀-a₁t₁
v=a₂t₁
解得：t₁=1s；v=1m/s
物块位移x₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$
木板位移x₂=$\frac{v}{2}{t}_{1}$
木板长度L=x₁-x₂
解得：L=3m．
（2）木板与物块达到共同速度后一起以加速度a₃做匀减速直线运动，
a₃=μ₂g
历时t₂至停止
v=a₃t₂
t₂=0.5s； 
 木板在水平地面运动时间
t=t₁+t₂=1+0.5=1.5s．
答：（1）木板长度L为3m；
（2）木板在水平地面运动时间t为1.5s．

点评 本题首先要分析物理过程，确定研究对象，其次要把握解题的规律，采用机械能守恒和牛顿第二定律的结合研究，难度适中．