Question

15．近年来深空探测取得了长足的发展，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，某火星探测器绕火星做匀速圆周运动，测得绕行的周期为T，观测火星最大张角为θ（如图所示），已知引力常量为G，火星视为均匀球体．根据上述信息可求出的物理量是（　　）

• A． 火星质量
• B． 探测器轨道半径
• C． 火星密度
• D． 探测器运动速度

Answer 1

分析 探测器P绕某星球做匀速圆周运动，由星球的万有引力提供向心力，根据万有引力定律和几何知识、密度公式可求解星球的平均密度．

解答 解：设火星质量为M，火星探测器质量为m，火星半径R，轨道半径为r，由几何关系$sin\frac{θ}{2}=\frac{R}{r}$
解得$r=\frac{R}{sin\frac{θ}{2}}$
根据万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律得，
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
火星质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}si{n}_{\;}^{3}\frac{θ}{2}}$
火星的密度$ρ=\frac{M}{V}$
$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
联立$ρ=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}si{n}_{\;}^{3}\frac{θ}{2}}$
根据万有引力提供向心力列式，火星探测器质量同时出现在等号两边，故无法求探测器质量．
因为火星半径未知，所以火星质量无法求，同时探测器的轨道半径无法求，所以探测器的运动速度$v=\frac{2πr}{T}$无法计算，所以只有C正确．
故选：C

点评 本题关键掌握万有引力等于向心力这一基本思路，结合几何知识进行解题，注意根据万有引力提供向心力只能求解中心天体的质量．