Question

18．2013年6月11日，我国已成功发射了神舟十号飞船，升空后和目标飞行器天宫一号交会对接，3名航天员再次探访天宫一号，并开展相关空间科学试验．已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，设神舟十号飞船绕地球做匀速圆周运动的周期为T．求：
（1）地球的密度；
（2）神舟十号飞船离地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根据地球表面物体重力等于万有引力地球质量，即可求密度
（2）根据万有引力提供向心力计算飞船离地面的高度

解答 解：（1）地球表面重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
地球质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
地球密度$ρ=\frac{M}{V}$
$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
联立解得$ρ=\frac{3g}{4πRG}$
（2）根据万有引力提供向心力，$G\frac{Mm}{（R+h）}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得$h=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$
答：（1）地球的密度$\frac{3g}{4πRG}$；
（2）神舟十号飞船离地面的高度h为$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$．

点评 本题要掌握万有引力提供向心力和星球表面的物体受到的重力等于万有引力这两个关系，同时要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．