Question

1．如图所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆长为1m，杆与水平方向夹角为45°，质量为10$\sqrt{2}$kg的小球套在杆上，小球与杆间的动摩擦因数为0.5，小球在恒定拉力F作用下，小球沿杆由底端匀速运动到顶端．重力加速度g取10m/s²．则（　　）

• A． 拉力F的最小值为60$\sqrt{5}$N
• B． 拉力F的最大值为150N
• C． 拉力F做功的最小值为100J
• D． 拉力F做功的最大值为150J

Answer 1

分析 对小球受力分析，根据受力平衡列方程，然后结合数学三角函数知识求F的最小值；根据动能定理进行分析，明确拉力的功出现极值的情况．

解答 解：A、小球匀速运动，根据平衡条件，在沿杆方向上有：
Fcosα=mgsin45°+μ（mgcos45°-Fsinα）
整理得：Fcosα+μFsinα=150
F=$\frac{1}{cosα+μsinα}$•150
由数学知识知当cosα+μsinα最大值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$
故F的最小值为：F_min=60$\sqrt{5}$N； 故A正确，B错误；
C、小球匀速运动，由动能定理得；W_F-W_f-W_G=0
要使拉力做功最小则W_f=0，即摩擦力为0，则支持力为0．
分析小球受的各力然后正交分解列方程：
垂直斜面方向：Fsinα=mgcos45°
沿斜面方向：Fcosα=mgsin45°
解以上两方程得：α=45°，F=mg，
则拉力功的最小值为：Wmin=FLcos45°=100$\sqrt{2}$×$1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=100J；故C正确；
D、摩擦力越大，则拉力的功越大，无法求出拉力功的最大值；故D错误；
故选：AC．

点评 本题考查了受力分析以及正交分解的应用，关键是熟练结合数学知识求极值．通过分析小球的受力及各力做功情况，再结合动能定理得出拉力F做功最小时摩擦力为零．