Question

9．据报道，“嫦娥一号”在距离月球表面高为h处绕月球做匀速圆周运动．已知月球半径为R，引力常量为G，求：
（1）如果已知“嫦娥一号”的线速度为V，求月球的质量；
（2）如果已知月球表面的重力加速度为g₀，求“嫦娥一号”绕月球运行的周期．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力速度公式求解月球质量；
（2）根据万有引力提供向心力周期公式结合在月球表面重力提供向心力公式联立方程求解．

解答 解：（1）由$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$得     
月球的质量$M=\frac{{v}^{2}（R+h）}{G}$
（2）“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动有
$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$          ①
在月球表面有${m}_{0}g=G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$          ②
解①②得：$T=\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$
答：（1）如果已知“嫦娥一号”的线速度为v，则月球的质量为$\frac{{v}^{2}（R+h）}{G}$；
（2）如果已知月球表面的重力加速度为g₀，则“嫦娥一号”绕月球运行的周期为$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力和万有引力提供向心力这两个理论，并能灵活运用．