Question

6．如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z＜0的空间，z＞0的空间为真空．将电荷为+q的点电荷置于z轴上z=h处，则在xOy平面上会产生感应电荷．空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的．已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上z=$\frac{h}{2}$处的场强大小为（k为静电力常量）$\frac{40kq}{9{h}^{2}}$．

Answer 1

分析 根据对称性，感应电荷在导体内外两侧空间产生的电场强度的大小相等，方向相反；而内部一点的电场强度为q和感应电荷产生的电场强度的合矢量．

解答 解：在z轴上-$\frac{h}{2}$ 处，合场强为零，该点场强为q和导体近端感应电荷产生电场的场强的矢量和；
q在-$\frac{h}{2}$ 处产生的场强为：E₁=$\frac{kq}{（\frac{3}{2}h）^{2}}$=$\frac{4kq}{9{h}^{2}}$；
由于导体远端离-$\frac{h}{2}$ 处很远，影响可以忽略不计，故导体在-$\frac{h}{2}$ 处产生场强近似等于近端在-$\frac{h}{2}$ 处产生的场强；
-$\frac{h}{2}$ 处场强为：0=E₁+E₂，故E₂=-E₁=-$\frac{4kq}{9{h}^{2}}$；
根据对称性，导体近端在$\frac{h}{2}$处产生的场强为-E₂=$\frac{4kq}{9{h}^{2}}$；
电荷q在$\frac{h}{2}$ 处产生的场强为：$\frac{kq}{（\frac{h}{2}）^{2}}$=$\frac{4kq}{{h}^{2}}$；
故$\frac{h}{2}$ 处的合场强为：$\frac{4kq}{{h}^{2}}$+$\frac{4kq}{9{h}^{2}}$=$\frac{40kq}{9{h}^{2}}$；
故答案为：$\frac{40kq}{9{h}^{2}}$．

点评 本题考查了导体的静电平衡和场强的叠加原理，要结合对称性进行近似运算．