Question

14．半径为R的半球玻璃砖的截面图如图所示，MN为玻璃砖的直径，虚线为过球心的对称轴，光屏平行MN所在平面防止，到MN所在平面的距离为2R．一束半径为R的单色平行光垂直MN所在平面射入玻璃砖，经玻璃砖折射后照在光屏上，已知此玻璃砖的折射率为$\sqrt{2}$，求：
①该单色光在玻璃砖中的传播速度；
②光屏上被单色光照亮区域的半径．

Answer 1

分析 ①已知玻璃砖的折射率，根据公式v=$\frac{c}{n}$求该单色光在玻璃砖中的传播速度；
②当光线玻璃砖圆弧面上恰好发生全反射时，折射角最大，画出光路图，根据临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$和几何知识结合求解光屏上被单色光照亮区域的半径．

解答 解：①该单色光在玻璃砖中的传播速度为 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c；
②如图，光线在A点恰好发生全反射，其折射光线射到光屏上E点，OE等于光屏上被单色光照亮区域的半径．
根据临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$得 C=45°
根据几何知识可得 FD=$\sqrt{2}$R，DO=2R-FD=（2-$\sqrt{2}$）R．
BD=FD-FB=$\sqrt{2}$R-$\frac{\sqrt{2}}{2}$R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R
AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R
△ABD∽△EOD得 $\frac{AB}{EO}$=$\frac{BD}{DO}$
解得 EO=（2-$\sqrt{2}$）R．
答：①该单色光在玻璃砖中的传播速度为$\frac{\sqrt{2}}{2}$c；
②光屏上被单色光照亮区域的半径是（2-$\sqrt{2}$）R．

点评 解决本题的关键是掌握全反射的条件，作出光路图，灵活运用数学知识帮助解答．