Question

13．如图所示，AB是倾角θ=60⁰的粗糙直轨道，BCD是半径R=0.35m的光滑竖直圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，P点与圆弧的圆心O等高，一个质量m=0.4kg（可以看作质点）的物块与斜面间的动摩擦因数?=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，取g=10m/s²．
（1）求物块在斜面AB上滑动时受到的摩擦力大小；
（2）若物块在P处由静止释放，求物块在轨道上足够多次地来回滑动后通过最低点E处时受到的支持力的大小；
（3）若物块在P处以某一初速度沿斜面向下滑动，恰好能通过圆弧最高点D，求初速度的大小．

Answer 1

分析 （1）通过垂直斜面方向受力平衡求得支持力，进而求得摩擦力；
（2）通过分析得到最终物块获得最大重力势能的点，然后由机械能守恒求得在E点的速度，即可由牛顿第二定律求得支持力；
（3）先由牛顿第二定律求得物块在D点的速度，然后通过对PD运动过程应用动能定理求解．

解答 解：（1）由物块在垂直斜面方向受力平衡可得：物块在斜面AB上滑动时受到斜面的支持力为：
F_N=mgcos60°=2N；
故物块在斜面AB上滑动时受到的摩擦力为：
$f=μ{F}_{N}=\sqrt{3}N$；
（2）由能量守恒可知物块在斜面上滑动，摩擦力做负功，动能减小，故最后物块将刚好不能冲上斜面，而在B点以下圆弧往复运动，且在B点的速度正好为零；
故由物块在圆弧上运动机械能守恒可得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}=mg（R-Rcos60°）=\frac{1}{2}mgR$；
再由牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{E}}^{2}}{R}=mg$
解得：F_N=2mg=8N；
（3）物块恰好能通过圆弧最高点D，那么由牛顿第二定律可得：
$mg=\frac{m{{v}_{D}}^{2}}{R}$；
对物块从P到D的运动过程应用动能定理可得：
$-mgR-f\frac{Rcos60°}{sin60°}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{p}}^{2}$；
解得：${v}_{p}=\sqrt{{{v}_{D}}^{2}+2gR+\frac{2fRcot60°}{m}}$=$\sqrt{3gR+\frac{2fRcot60°}{m}}=3.5m/s$；
答：（1）物块在斜面AB上滑动时受到的摩擦力大小为$\sqrt{3}N$；
（2）若物块在P处由静止释放，则物块在轨道上足够多次地来回滑动后通过最低点E处时受到的支持力的大小为8N；
（3）若物块在P处以某一初速度沿斜面向下滑动，恰好能通过圆弧最高点D，那么初速度的大小为3.5m/s．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．