Question

4．如图所示，光滑绝缘的半圆形轨道固定于竖直平面内，半圆形轨道与光滑绝缘的水平地面相切于半圆的端点A．一质量为1kg的小球在水平地面上匀速运动，速度为v=6m/s，经A运动到轨道最高点B，最后又落在水平地面上的D点（图中未画出）．已知整个空间存在竖直向下的匀强电场，小球带正电荷，小球所受电场力的大小等于2mg，g为重力加速度．
（1）当轨道半径R=0.1m时，求小球到达半圆形轨道B点时对轨道的压力；
（2）为使小球能运动到轨道最高点B，求轨道半径的最大值；
（3）轨道半径多大时，小球在水平地面上的落点D到A点距离最大，且最大距离为多少？

Answer 1

分析 （1）先由动能定理求出小球到达B点时的速度大小，再由牛顿第二定律求出轨道对小球的弹力，即可由牛顿第三定律得到小球对轨道的压力．
（2）当小球对轨道的压力恰好为零时，求出轨道半径的最大值R_m；
（3）小球离开B点后做平抛运动，根据高度求出平抛运动的时间，再根据初速度和时间求出平抛运动的水平位移表达式，与第1题中小球经过B点的速度联立，运用数学知识求解．

解答 解：（1）设小球到达圆轨道B点时速度为v，从A到B的过程中重力和电场力做功，由动能定理有：
-2mgR-2mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以：${v}_{B}=\sqrt{{v}^{2}-12gR}$
据牛顿第二定律有：F_N+mg+2mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$ 
代入数据解得：F_N=210N
牛顿第三定律可知，小球到达圆轨道B点时对轨道的压力为：F_N′=F_N=210N，方向竖直向上．
（2）轨道半径越大，小球到达最高点的速度越小，当小球恰好到达最高点时，轨道对小球的作用力为零，则小球对轨道的压力也为零，此时轨道半径最大，则：
$\frac{m{v}_{min}^{2}}{R′}=mg+2mg$
又：-2mgR′-2mg•2R′=$\frac{1}{2}m{v}_{min}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入数据解得轨道半径的最大值：R′=0.24m
（3）设小球类平抛运动的时间为t，在竖直方向上小球的加速度：a=$\frac{mg+2mg}{m}=3g$
所以有：2R″=$\frac{1}{2}•3g•{t}^{2}$
得：t=2$\sqrt{\frac{R″}{3g}}$
水平位移为：x=v_Bt=$\sqrt{{v}^{2}-12gR″}$•2$\sqrt{\frac{R″}{3g}}$=$2\sqrt{\frac{R″}{3g}（{v}^{2}-12gR″）}$
当$\frac{R″}{3g}={v}^{2}-12gR″$时，水平位移x最大．
得：R″=0.2999m＞R′
结合（2）的解答可知，当圆的半径为0.24m时，D到A的距离最大，
代入数据求得D到A最大距离为：x_max=0.48m，
答：（1）当轨道半径R=0.1m时，小球到达半圆形轨道B点时对轨道的压力是210N；
（2）为使小球能运动到轨道最高点B，轨道半径的最大值是0.24m；
（3）轨道半径是0.24m大时，小球在水平地面上的落点D到A点距离最大，且最大距离为0.48m．

点评 本题综合运用了动能定理、牛顿第二定律、平抛运动，综合性较强，关键理清过程，选择适当的定理或定律进行解题．