Question

4．如图所示，在xOy平面内存在I、II、III、IV四个场区，y轴右侧存在匀强磁场I，y轴左侧与虚线MN之间存在方向相反的两个匀强电场，II区电场方向竖直向下，III区电场方向竖直向上，P点是MN与x轴的交点．有一质量为m，带电荷量+q的带电粒子由原点O，以速度v₀沿x轴正方向水平射入磁场I，已知匀强磁场I的磁感应强度垂直纸面向里，大小为2B₀，匀强电场II和匀强电场III的电场强度大小均为E=$\frac{{{B_0}{v_0}}}{2}$，如图所示，IV区的磁场垂直纸面向外，大小为B₀，OP之间的距离为$\frac{{4m{v_0}}}{{q{B_0}}}$，已知粒子最后能回到O点．
（1）带电粒子从O点飞出后，第一次回到x轴时的位置和时间；
（2）根据题给条件画出粒子运动的轨迹；
（3）带电粒子从O点飞出后到再次回到O点的时间．

Answer 1

分析 （1）根据半径公式求出粒子在磁场Ⅰ中运动的半径，从而得出粒子在磁场Ⅰ中运动半周回到y轴的距离；带电粒子在Ⅱ场区内作类平抛运动，根据牛二第二定律和运动学公式求出类平抛运动的时间以及水平位移．
（2）粒子在磁场Ⅰ中运动半周进入电场Ⅱ，做类平抛运动，然后进入电场Ⅲ，做曲线运动，恰好垂直边界进入磁场Ⅳ，做半个圆周运动，又进入电场Ⅱ做类平抛运动，再进入电场Ⅲ做曲线运动，垂直边界进入磁场Ⅰ，做半个圆周回到O点．
（3）根据粒子在磁场中的运动时间和在电场中运动的时间，求出总时间．

解答 解：（1）带电粒子在磁场I中运动的半径为：${R_1}=\frac{{mv_0^{\;}}}{{2q{B_0}}}$
带电粒子在I磁场中运动了半个圆，回到y轴的坐标为：$y=2{R_1}=\frac{{mv_0^{\;}}}{{q{B_0}}}$
带电粒子在II场区作类平抛运动，根据牛顿第二定律得带电粒子运动的加速度为：$a=\frac{qE}{m}=\frac{{{q_{\;}}{B_0}{v_0}}}{2m}$，
竖直方向y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，水平位移x=v₀t，
联立得$t=\frac{2m}{{q{B_0}}}$，${t_总}=\frac{2m}{{q{B_0}}}+\frac{πm}{{2q{B_0}}}$，第一次回到x轴的位置（-$\frac{2mv_0^2}{{q{B_0}}}$，0）
（2）根据运动的对称性画出粒子在场区III的运动轨迹如图所示．
带电粒子在场区IV运动的半径是场区I运动半径的2倍，
画出粒子的运动轨迹，同样根据运动的对称性画出粒子回到O点的运动轨迹如图所示．
（3）带电粒子在I磁场中运动的时间正好为1个周期，故有：${t_1}=\frac{πm}{{q{B_0}}}$
带电粒子在II、III两个电场中运动的时间为：${t_2}=4t=\frac{8m}{{q{B_0}}}$
带电粒子在IV场中运动的时间为半个周期为：${t_3}=\frac{πm}{{q{B_0}}}$
因此带电粒子从O点飞出后到再次回到O点的时间为：${t_总}={t_1}+{t_2}+{t_3}=\frac{（2π+8）m}{{q{B_0}}}$
答：（1）带电粒子从O点飞出后，第一次回到x轴时的位置（-$\frac{2mv_0^2}{{q{B_0}}}$，0），时间$\frac{2m}{{q{B_0}}}+\frac{πm}{{2q{B_0}}}$；
（2）粒子运动的轨迹如上图所示；
（3）带电粒子从O点飞出后到再次回到O点的时间$\frac{（2π+8）m}{{q{B_0}}}$．

点评 本题考查了带电粒子在磁场和电场中的运动，掌握处理类平抛运动的方法，对于圆周运动，关键会确定半径和圆心以及圆心角．本题涉及的过程较多，要正确地画出轨迹图是关键．