Question

16．如图所示，金属导轨MNC和PQD，MN与PQ平行且间距为L，所在平面与水平面夹角为α，N、Q连线与MN垂直，M、P间接有阻值为R的电阻；光滑直导轨NC和QD在同一水平面内，与NQ的夹角都为锐角θ．均匀金属棒ab和ef质量均为m，长均为L，ab棒初始位置在水平导轨上与NQ重合；ef棒垂直放在倾斜导轨上，与导轨间的动摩擦因数为μ（μ较小），由导轨上的小立柱1和2阻挡而静止．空间有方向竖直的匀强磁场（图中未画出）．两金属棒与导轨保持良好接触．不计所有导轨和ab棒的电阻，ef棒的阻值为R，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，忽略感应电流产生的磁场，重力加速度为g．
（1）若磁感应强度大小为B，给ab棒一个垂直于NQ、水平向右的速度v₁，在水平导轨上沿运动方向滑行一段距离后停止，ef棒始终静止，求此过程ef棒上产生的热量；
（2）在（1）问过程中，ab棒滑行距离为d，求通过ab棒某横截面的电量；
（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v₂在水平导轨上向右匀速运动，并在NQ位置时取走小立柱1和2，且运动过程中ef棒始终静止．求此状态下最强磁场的磁感应强度及此磁场下ab棒运动的最大距离．

Answer 1

分析 （1）根据能量守恒定律，求解ef棒上产生的热量；
（2）由几何知识求出回路的面积变化，根据楞次定律和欧姆定律，计算通过ab棒某横截面的电量；
（3）根据法拉第电磁感应定律计算电动势的大小，根据棒的受力计算最强磁场的磁感应强度及此磁场下ab棒运动的最大距离．

解答 解：（1）ab棒在水平导轨上运动的过程，根据能的转化与守恒定律，有：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=Q_R+Q_ef     ①
由于金属棒ab和ef的电阻相等，电阻R和ef棒中产生的焦耳热相等，则 Q_R=Q_ef     ②
由①②式联立解得ef棒上产生的热量为：Q_ef=$\frac{1}{4}m{v}_{1}^{2}$
（2）设在ab棒滑行距离为d时所用时间为t，其示意图如下图所示：

该过程中回路变化的面积为：△S=$\frac{1}{2}$[L+（L-2dcotθ）]d  ③
在该过程中，回平均感应电动势为：$\overline{E}$=$\frac{B△S}{t}$④
流经ab棒平均电流为：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{\frac{R}{2}}$     ⑤
流经ab棒某横截面的电量为：q=$\overline{I}$t         ⑥
由③④⑤⑥式联立解得：q=$\frac{2Bd（L-dcotθ）}{R}$
（3）当ab棒滑行x距离时，感应电动势为：e=B（L-2xcotθ）v₂ ⑦
流经ef棒的电流为：i=$\frac{e}{R}$                    ⑧
ef棒所受安培力为：F=iLB                   ⑨
由⑦⑧⑨式联立解得：F=$\frac{{B}^{2}L{v}_{2}}{R}$（L-2xcotθ）             ⑩

由⑩式可知，当x=0且B取最大值，即B=B_m时，F有最大值F_m，ef棒受力示意图如图所示：
沿导轨方向上有：F_mcosα=mgsinα+f_m⑪
在垂直于导轨方向上有：F_N=mgcosα+F_msinα⑫
根据滑动摩擦定律和题设条件有：f_m=μF_N⑬
由⑩⑪⑫⑬式联立解得：B_m=$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{mgR（sinα+μcosα）}{（cosα-μsinα）{v}_{2}}}$
显然此时，磁感应强度的方向竖直向上或竖直向下均可

由⑩式可知，当B=B_m时，F随x的增大而减小，即当F最小为F_min时，x有最大值为x_m，此时ef棒受力示意图如图所示：
在沿导轨方向上有：F_mincosα+f_m=mgsinα⑭
在垂直于导轨方向上有：F_N=mgcosα+F_minsinα⑮
由⑩⑬⑭⑮式联立解得：x_m=$\frac{μLtanθ}{（1+{μ}^{2}）sinαcosα+μ}$
答：
（1）此过程ef棒上产生的热量是$\frac{1}{4}m{v}_{1}^{2}$．
（2）通过ab棒某横截面的电量是$\frac{2Bd（L-dcotθ）}{R}$．
（3）此状态下最强磁场的磁感应强度是$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{mgR（sinα+μcosα）}{（cosα-μsinα）{v}_{2}}}$，方向竖直向上或竖直向下均可，此磁场下ab棒运动的最大距离是$\frac{μLtanθ}{（1+{μ}^{2}）sinαcosα+μ}$．

点评 解决本题的关键是分析清楚棒的受力的情况，根据平衡条件找出磁感应强度的表达式．要知道力学与电磁感应联系的桥梁是安培力，要能熟练运用法拉第定律、欧姆定律和安培力公式推导出安培力与速度的关系式．