题目内容
19．
如图所示，ABCD为竖立放在场强为E=104 V/m的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD部分是半径为R=0.2m的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切，A为水平轨道上的一点，而且AB=3R=0.6m．把一质量m=0.1kg、带电量q=10-4C的小球，放在水平轨道的A点，由静止开始释放后在轨道的内侧运动．（g取10m/s2）求：（1）小球到达C点时，轨道对小球的作用力大小；
（2）试判断小球能否通过D点（写出相应的计算过程）；
（3）在半圆形轨道运动的过程中，小球的最大速度．
分析 （1）可以应用动能定理直接求出速度；然后应用牛顿第二定律可求轨道对小球的作用力大小；
（2）若小球恰好到达D点，则在D点小球受到的重力提供向心力，由此求出小球在D点的最小速度，与题目中到达B点的速度比较，然后判断即可；
（3）首先找到动能最大的位置即所谓“等效最低点”的方法，即小球能够平衡的位置，然后结合动能定理即可求解．
解答 解：（1）设小球在C点的速度大小是Vc，则对于小球由A→C的过程中，应用动能定律得：
qE.4R-mgR=$\frac{1}{2}{mv}_{c}^{2}-0$，
代入数据解得：${v}_{C}=\sqrt{\frac{8qER-2mgR}{m}}=\sqrt{\frac{8×1{0}^{-4}×1{0}^{4}×0.2-2×0.1×10×0.2}{0.1}}=2\sqrt{3}$m/s
小球在C点时受到重力、支持力和电场力，沿水平方向的支持力与电场力的合力提供向心力，得：
${N}_{c}^{\;}-qE=\frac{{mv}_{c}^{2}}{R}$，
代入数据解得：${N}_{c}^{\;}$=7N
（2）若小球恰好到达D点，则在D点小球受到的重力提供向心力，得：
$\frac{m{v}_{D}^{2}}{R}=mg$
所以：${v}_{D}=\sqrt{2}$m/s
小球从C到D的过程中：
$-mgR-qER=\frac{1}{2}mv{′}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入数据得：vD′=2m/s＞vD
所以小球能到达D点．
（3）由题：mg=qE=1N，可知小球受到合力的方向垂直于B、C点的连线BC指向圆心O，所以“等效最低点”在BC的中点E，E点与圆心O的连线与水平方向之间的夹角是45°．
设小球的最大动能为：${E}_{km}^{\;}$=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$，
由动能定理可得：$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$=qER（3+sin45°）+mgR（1-cos45°）
代入数据解得：vm=4m/s
故小球所能获得的最大速度为4m/s．
答：（1）小球到达C点时，轨道对小球的作用力大小是$2\sqrt{3}$N；
（2）小球能通过D点；
（3）在半圆形轨道运动的过程中，小球的最大速度是4m/s．
点评 对与圆周运动结合的题目，一般要用到动能定理、牛顿第二定律以及速度最大或最小的临界条件，应记住在复合场中速度最大即等效“最低点”是物体能够平衡的位置，速度最小（等效最高点）位置则是最低点关于圆心的对称点．
如图所示，比荷（荷质比）为$\frac{e}{m}$的电子从左侧垂直于界面、垂直于磁场射入宽度为d、磁感受应强度为B的匀强磁场区域，要从右侧面穿出这个磁场区域，电子的速度应满足的条件是大于$\frac{eBd}{m}$．
如图所示，在y轴的右方有一磁感应强度为B的方向垂直纸面向外的匀强磁场，在x轴的下方有一场强为E的方向平行x轴向左的匀强电场．有一铅板放置在y轴处，且与纸面垂直．现有一质量为m、电荷量为q的粒子由静止经过加速电压为U的电场加速，然后以垂直于铅板的方向从A处沿直线穿过铅板，而后从x轴上的D处以与x轴正向夹角为60°的方向进入电场和磁场叠加的区域，最后到达y轴上的C点．已知OD长为L，不考虑粒子受到的重力，求：
如图甲所示，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B，磁场在y轴方向足够宽，在x轴方向宽度为a．一直角三角形导线框ABC（BC边的长度为a）从图示位置向右匀速穿过磁场区域，以逆时针方向为电流的正方向，在图乙中感应电流i、BC两端的电压uBC与线框移动的距离x的关系图象不正确的是（ ）
如图所示，半径为r、圆心为O1的虚线所围的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场右侧有一竖直放置的平行金属板M和N，两板间距离为L，在MN板中央各有一个小孔O2、O3，O1、O2、O3在同一水平直线上，与平行金属板相接的是两条竖直放置间距为L的足够长的光滑金属导轨，导体棒PQ与导轨接触良好，与阻值为R的电阻形成闭合回路（导轨与导体棒的电阻不计），该回路处在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，整个装置处在真空室中，有一束电荷量为+q、质量为m的粒子流（重力不计），以速率v0从圆形磁场边界上的最低点E沿半径方向射入圆形磁场区域，最后从小孔O3射出．现释放导体棒PQ，其下滑h后开始匀速运动，此后粒子恰好不能从O3射出，而从圆形磁场的最高点F射出．求：
如图所示，在xOy平面内存在I、II、III、IV四个场区，y轴右侧存在匀强磁场I，y轴左侧与虚线MN之间存在方向相反的两个匀强电场，II区电场方向竖直向下，III区电场方向竖直向上，P点是MN与x轴的交点．有一质量为m，带电荷量+q的带电粒子由原点O，以速度v0沿x轴正方向水平射入磁场I，已知匀强磁场I的磁感应强度垂直纸面向里，大小为2B0，匀强电场II和匀强电场III的电场强度大小均为E=$\frac{{{B_0}{v_0}}}{2}$，如图所示，IV区的磁场垂直纸面向外，大小为B0，OP之间的距离为$\frac{{4m{v_0}}}{{q{B_0}}}$，已知粒子最后能回到O点．
如图所示，足够长的粗糙金属导轨POQ，夹角∠POQ=60°，PO=OQ，P、Q两端点均在水平面上，导轨平面与水平面的夹角为α．质量为m的匀质金属杆MN垂直于∠POQ的角平分线对称放置在导轨上，其重心在角平分线上．金属杆和导轨单位长度的电阻均为r，且始终保持良好接触．若用大小F=2mgsinα、方向沿∠POQ的角平分线向上的力F作用在金属杆MN的重心点上，金属杆恰可沿力F的方向匀速向上运动．撤去力F后，给导轨处加上一个区域足够大的磁感应强度为B的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于导轨平面．初始时刻金属杆到O点的距离为a，给金属杆一个沿∠POQ角平分线向下的初速度v0．求：（不计感应电流之间的相互作用）
如图所示，小球的质量为m，带电量为q，悬挂小球的丝线与竖直方向成θ角时，小球恰好在匀强电场中静止不动，丝线长度为l．
如图所示，平行金属板长为L，一个带电为+q质量为m的粒子以初速度v0紧贴上板垂直射入电场，刚好从下板边缘射出，末速度恰与下板成30°角，粒子重力不计，求：