Question

20．用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G．将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F₀
（1）若在北极上空高出地面h=$\frac{1}{100}$R处称量，弹簧秤读数为F₁，求比值$\frac{F_1}{F_0}$．（计算结果保留两位有效数字）；
（2）若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F₂，求比值$\frac{F_2}{F_0}$的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力得出比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表达式，并求出具体的数值．
（2）在赤道，由于万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力，根据该规律求出比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表达式

解答 解：（1）在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是有：
F₀=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$…①
F₁=$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$…②
由公式①②可以得出：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$=$\frac{{R}^{2}}{{（R+h）}^{2}}$=0.98．
（2）F₂=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$-mω²R=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$-m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R…③
①和③可得：$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$=1-$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GMT}^{2}}$
答：（1）若在北极上空高出地面h=$\frac{1}{100}$R处称量，比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$大小是0.98；
（2）若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F₂，比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表达式是$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$=1-$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GMT}^{2}}$．

点评 解决本题的关键知道在地球的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力．