Question

9．由于银河系外某双黑洞系统的合并，北京时间2016年2月11日，美国国家科学基金会（NSF）宣布人类首次直接探测到了引力波，印证了爱因斯坦的预言．其实中国重大引力波探测工程“天琴计划”也已经于2015年7月份正式启动，“天琴计划”的其中一个阶段就是需要发射三颗地球高轨卫星进行引力波探测，假设我国发射的其中一颗高轨卫星以速度v沿圆形轨道环绕地球做匀速圆周运动，其周期为T，地球半径为R，引力常量为G，根据以上所给条件，试求：
（1）地球的质量M；
（2）地球的平均密度（已知球体体积V=$\frac{4}{3}$πR³）

Answer 1

分析 根据在地球表面万有引力等于向心力公式先计算出地球质量，再根据密度等于质量除以体积求解．

解答 解：（1）地球卫星做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
$v=\frac{2π（R+h）}{T}$
解得：$M=\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$
（2）$ρ=\frac{M}{V}$
地球体积$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
解得：$ρ=\frac{3{v}_{\;}^{3}T}{8G{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
答：（1）地球的质量M为$\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$；
（2）地球的平均密度$\frac{3{v}_{\;}^{3}T}{8G{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$

点评 该题关键抓住在地球表面万有引力提供向心力和密度公式，难度不大．