Question

16．如图所示，半径R=0.2m，内径很小的光滑半圆管竖直固定放置，质量分别为m、2m的小球A和B（可看做质点）静止与光滑轨道的水平部分（小球的直径略小于半圆管的内径），现给小球一水平向右的初速度使其与小球A发生正碰，碰后A球通过最高点C时，对外管壁的压力大小为3mg，B球通过最高点C时，对内管壁的压力大小为mg，取g=10m/s²，求：
（1）A、B两球落地点距C点水平距离之比；
（2）B球与A球碰撞前B球的速度大小．

Answer 1

分析 （1）小球在管道内做圆周运动，应用牛顿第二定律可以求出小球在C点的速度，小球离开C点后做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出两球落点到C点的水平距离之比．
（2）由动能定理可以求出两球碰撞后的速度，两球碰撞过程过程系统动量守恒，应用动量守恒定律可以求出碰撞前B的速度大小．

解答 解：点，由牛顿第二定律得：
A球：mg+F_A=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，
B球：2mg-F_B=2m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
由题意可知：F_A=3mg，F_B=mg，
解得：v_A=2$\sqrt{2}$m/s，v_B=1m/s，
A、B两球通过最高点后做平抛运动，
由于抛出点的高度h相同，则它们的运动时间t相等，
设A、B两球落地点距C点水平距离分别为x_A、x_B，
则：x_A=v_At，x_B=v_Bt
解得：x_A：x_B=2$\sqrt{2}$：1；
（2）碰撞后A球、B球两球到达C点过程，由动能定理得：
对A球：-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv_a²
解得：v_a=4m/s，
对B球：-2mg•2R=$\frac{1}{2}$•2mv_B²-$\frac{1}{2}$•2mv_b²
解得：v_b=3m/s，
B球与A球碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，
由动量守恒定律得：2mv₀=2mv_b+mv_a
解得：v₀=5m/s；
答：（1）A、B两球落地点距C点水平距离之比为2$\sqrt{2}$：1；
（2）B球与A球碰撞前B球的速度大小为5m/s．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律与动量守恒定律的应用，分析清楚小球运动过程是解题的前提与关键，应用动能定理、牛顿第二定律与动量守恒定律可以解题，应用动量守恒定律解题时要注意正方向的选择．