Question

11．无线充电的原理如图所示：通过插座上的电流转化器，将电能转化为超声波，用电设备上的接收器捕获超声波，再转化为电能给设备充电．接收器单位面积上接收到的超声波功率与接收器和电流转化器之间距离s的平方成反比，其将超声波转化为电能的转化效率为η₁．某电动小车（含接收器）质量为 m，其电池将电能转为机械能的效率为η₂．用该装置给其充电：当充电站到电流转换器的距离s=s₀时，经过时间 t₀小车刚好充满电．然后启动小车沿平直道路行驶，其所受阻力恒为0.2mg，经过10R的距离（电能已耗尽）后进入一个半径为 R 的竖直放置的光滑圆形轨道，在最高点时对轨道的压力大小恰为mg．小车离开充电站后会自动停止充电，己知重力加速度为 g．

求：
（1）电动小车在轨道最高点的速度；
（2）当 s=s₀时，小车接收器接收到的超声波功率 P₀；
（3）若改变电流转换器与充电站间的距离 s，要使小车不脱离圆形轨道做完整圆周运动，充电时间 t 与距离 s 应满足什么关系？

Answer 1

分析 （1）电动小车在最高点受重力和支持力，合力提供向心力，根据向心力公式求出电动小车在轨道最高点的速度；
（2）根据机械能守恒定律和动能定理列式求出接收器接受到的超声波的功率P₀；
（3）要使小车不脱离圆形轨道做完整的圆周运动，则小车能达到最高点，根据能量守恒定律和动能定理列式求解即可．

解答 解：（1）在最高点，由向心力公式得，mg+F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
又因为F_N=mg，
由以上两式可解得：v=$\sqrt{2gR}$．
（2）设小车在水平轨道上的动能为E_k，
从水平轨道到最高点满足机械能守恒，
即：E_k=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv²，
解得：E_k=3mgR，
由动能定理得，P₀t₀η₁η₂-0.2mg•10R=E_k，
解得：P₀=$\frac{5mgR}{{η}_{1}{η}_{2}{t}_{0}}$．
（3）要使小车不脱离圆形轨道做完整的圆周运动，
若恰好达到轨道最高点，则有：mg=m $\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
从水平轨道到最高点满足机械能守恒，
则有：E_k1=mg•2R+$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$，
又因为E_k1=P₁tη₁η₂-0.2mg•10R，
解得：P₁=$\frac{4.5mgR}{{η}_{1}{η}_{2}t}$，
则有：$\frac{{P}_{0}}{{P}_{1}}$=$\frac{\frac{5mgR}{{η}_{1}{η}_{2}{t}_{0}}}{\frac{4.5mgR}{{η}_{1}{η}_{2}t}}$=$\frac{10t}{9{t}_{0}}$，
又因为$\frac{{P}_{0}}{P}$=$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}$，
由以上两式可解得：t=$\frac{9{s}^{2}{t}_{0}}{10{s}_{0}^{2}}$
故能通过最高点的条件是：t≥$\frac{9{s}^{2}{t}_{0}}{10{s}_{0}^{2}}$．
答：（1）电动小车在轨道最高点的速度为$\sqrt{2gR}$；
（2）当 s=s₀时，小车接收器接收到的超声波功率P₀=$\frac{5mgR}{{η}_{1}{η}_{2}{t}_{0}}$；
（3）充电时间 t 与距离 s 应满足的关系是t≥$\frac{9{s}^{2}{t}_{0}}{10{s}_{0}^{2}}$．

点评 解答本题关键要明确小车的运动规律，结合机械能守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律列式求解，注意恰好到达最高点的条件，难度适中．