题目内容
2．
如图所示的xOy平面上，以坐标原点O为圆心的四分之一圆形区域MON内分布着磁感应强度为B=2.0×10-3T的匀强磁场，其中M、N点距坐标原点O为$\sqrt{2}$m，磁场方向垂直纸面向里．坐标原点O处有一个粒子源，不断地向xOy平面发射比荷为$\frac{q}{m}$=5×107 C/kg的带正电粒子，它们的速度大小都是v=1×105m/s，与x轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．（1）求平行于x轴射入的粒子，出射点的位置及在磁场中的运动时间；
（2）求恰好从M点射出的粒子，从粒子源O发射时的速度与x轴正向的夹角；
（3）若粒子进入磁场前经加速使其动能增加为原来的2倍，仍从O点垂直磁场方向射入第一象限，求粒子在磁场中运动的时间t与射入时与x轴正向的夹角θ的关系．
分析 （1）粒子平行于x轴射入，作出运动轨迹，根据洛伦兹力充当向心力可求得半径，再由几何关系可求得射出时的位置和运动时间；
（2）根据题意得出粒子运动的轨迹，由几何关系可求出恰好从M点射出粒子的速度夹角；
（3）由洛伦兹力充当向心力可求得粒子半径，作出运动轨迹图，再由几何关系可求得粒子在磁场中运动的时间t与射入时与x轴正向的夹角θ的关系．
解答 
解：（1）平行于x轴射入的粒子，轨迹如图所示，设出射点为P，
由$qBv=m\frac{v^2}{R}$得：$R=\frac{mv}{qB}=\frac{{{{10}^5}}}{{5×{{10}^7}×2×{{10}^{-3}}}}m=1m$
有几何关系可知：o1p=o1o=1m，$op=\sqrt{2}m$，
则△o1op为等腰直角三角形x=y=1m，$α=\frac{π}{2}$；
故P点坐标为（1m，1m），
运动时间为：$t=\frac{α}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{π}{2}×{10^{-5}}s$
（2）由几何关系可知：o2M=o2o=1m，$oM=\sqrt{2}m$，
△o2oM为等腰直角三角形$∠{o_2}oM={45^0}$，
则$θ=∠{o_2}oM={45^0}$
（3）由$R=\frac{mv}{qB}$，${E_K}=\frac{1}{2}m{v^2}$可知：
$R=\frac{{\sqrt{2m{E_K}}}}{qB}$，$\frac{R'}{R}=\sqrt{\frac{{{{E'}_K}}}{E_K}}=\sqrt{2}$，
解得：
$R'=\sqrt{2}m$
若粒子从M点出射时oM=R'，△o3oM为正三角形，圆心角$α=\frac{π}{3}$，出射角$θ=\frac{π}{3}$；
若粒子从弧MN上射出时，弦长均为$\sqrt{2}m$，圆心角均为$α=\frac{π}{3}$，运动时间均为：$t=\frac{α}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{π}{3}×{10^{-5}}s$，
故$0≤θ≤\frac{π}{3}$时：$t=\frac{π}{3}×{10^{-5}}s$
若粒子从边OM出射时，如图，$α=2（{\frac{π}{2}-θ}）=π-2θ$，
运动时间$t=\frac{α}{2π}•\frac{2πm}{qB}=（π-2θ）×{10^{-5}}s$，
故$\frac{π}{3}＜θ≤\frac{π}{2}$时：t=（π-2θ）×10-5s
答：（1）平行于x轴射入的粒子，出射点的位置（1m，1m），在磁场中的运动时间为$\frac{π}{2}×1{0}^{-5}$s；
（2）恰好从M点射出的粒子，从粒子源O发射时的速度与x轴正向的夹角45°；
（3）粒子在磁场中运动的时间t与射入时与x轴正向的夹角θ的关系为：$0≤θ≤\frac{π}{3}$时：$t=\frac{π}{3}×{10^{-5}}s$；$\frac{π}{3}＜θ≤\frac{π}{2}$时：t=（π-2θ）×10-5s
点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动问题，要求能正确理解题意，明确洛伦兹力充当向心力的正确应用，注意几何关系的应用；此类问题对学生数学应用能力要求较高，同时注意分析题意中给出的可能运动轨迹图．
如图所示，物体A，B质量分别为2kg和8kg，物体B置于粗糙的水平地面上，通过定滑轮用细绳与物体A连接．物体A，B处于静止状态，连接物体B的细绳与水平方向成30°，不计滑轮与细绳的重力，重力加速度大小g取10m/s2，求：地面对物体B支持力和摩擦力的大小．
如图所示，A、B分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线运动的v-t图象，根据图象可以判断出（ ）| A． | 在t=6s时，甲球的加速度小于乙球的加速度 | |
| B． | 在t=4.4s时，两球相距最远 | |
| C． | 在t=6s时，甲球与乙球的运动方向相同 | |
| D． | 在t=4.4s时，两球相遇 |
| A． | 变小 | B． | 变大 | C． | 不变 | D． | 无法确定 |
| A． | 运动员在百米全过程中的平均速度是10.00m/s | |
| B． | 运动员在前7s的平均速度是8.60m/s | |
| C． | 运动员在7s末的瞬间时速度约为9.20m/s | |
| D． | 无法知道运动员在7s末的瞬间时的速度 |
如图，质量为m的木箱在推力F作用下沿水平面加速运动，F与水平面夹角为θ，木箱与水平面间的动摩擦因数为μ．
如图所示，一个质量为m、半径为r、体积为V的铁球，用一细线拴住，慢慢地放入截面积为S、深度为h的水中．已知水的密度为ρ，求铁球从刚好全部没入水中至与杯底接触的过程中，| A． | 线框交变电动势的最大值为NnπBS | |
| B． | 线框交变电动势的有效值为$\sqrt{2}$NnπBS | |
| C． | 从开始转动经过$\frac{1}{4}$周期，线框中的平均感应电动势为2NnBS | |
| D． | 感应电动势瞬时值为e=2nπBSsin2nπt |