Question

8．地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a，角速度为ω，某卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r₁，向心力加速度为a₁，角速度为ω₁．已知万有引力常量为G，地球半径为R．下列说法中正确的是（　　）

• A． 向心力加速度之比$\frac{a}{{a}_{1}}$=$\frac{{r}_{1}^{2}}{{R}^{2}}$
• B． 角速度之比$\frac{ω}{{ω}_{1}}$=$\frac{{R}^{3}}{{r}_{1}^{2}}$
• C． 地球的第一宇宙速度等于$\sqrt{aR}$
• D． 地球的平均密度ρ=$\frac{3{a}_{1}{r}_{1}^{2}}{4πG{R}^{3}}$

Answer 1

分析 根据月球绕地球的轨道半径和向心加速度，结合万有引力提供向心力求出地球的质量，从而结合地球的体积求出地球的密度．根据万有引力提供向心力求出地球的第一宇宙速度．

解答 解：A、赤道上物体靠万有引力和支持力的合力提供向心力，根据题目条件无法求出向心加速度之比，故A错误．
B、由A选项分析可知，因向心加速度之比无法，则角速度也无法确定，故B错误．
C、根据G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，地球的第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{{a}_{1}{r}_{1}^{2}}{R}}$，故C错误．
D、根据G$\frac{Mm}{{r}_{1}^{2}}$=ma₁得，地球的质量M=$\frac{{a}_{1}{r}_{1}^{2}}{G}$，那么其平均密度ρ=$\frac{3{a}_{1}{r}_{1}^{2}}{4πG{R}^{3}}$．故D正确．
故选：D．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道第一宇宙速度等于贴近星球表面做匀速圆周运动的速度．