Question

20．中国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”于2017年4月20日19时41分在海南文昌航天发射场发射升空．并于2017年4月22日12时33分与“天宫二号”成功在浩渺太空对接，之后经过发动机调整，组合体在393公里高空的轨道绕地球做匀速圆周运动．已知“天舟一号”的质量约为“天宫二号”质量的1.5倍，地球半径为R=6400km，结合以上信息，求（计算结果均保留两位小数）
（1）“天舟一号”与“天宫二号”在对接轨道处的重力加速度与地球表面重力加速度的比约为多少？
（2）“天舟一号”与“天宫二号”组合体运行速度大小与第一宇宙速度的比约为多少？

Answer 1

分析 （1）在地球表面和对接处分别根据万有引力定律和牛顿第二定律求解；
（2）由万有引力定律提供向心力结合向心力计算公式和牛顿第二定律列方程求解．

解答 解：（1）设地球表面的重力加速度为g，对接轨道处的重力加速度为g₀，h=393km=3.93×10⁵m，“天宫二号”的质量为m，地球质量为M，
由万有引力定律和牛顿第二定律得$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$；
$\frac{GM（m+1.5m）}{{（R+h）}^{2}}=（m+1.5m）{g}_{0}$
由以上两式得：$\frac{{g}_{0}}{g}=\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$
代入数值得$\frac{{g}_{0}}{g}=0.89$；
（2）设组合体的运行速度大小为v₁，第一宇宙速度为v₂，由万有引力定律和牛顿第二定律得
$\frac{GM（m+1.5m）}{{（R+h）}^{2}}=（m+1.5m）\frac{{v}_{1}^{2}}{R+h}$，
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
由以上两式得$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{R}{R+h}}$
代入数值得$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=0.97$．
答：（1）“天舟一号”与“天宫二号”在对接轨道处的重力加速度与地球表面重力加速度的比约为0.89；
（2）“天舟一号”与“天宫二号”组合体运行速度大小与第一宇宙速度的比约为0.97．

点评 本题主要是考查了万有引力定律及其应用；解答此类题目一般要把握两条线：一是在星球表面，忽略星球自转的情况下，万有引力近似等于重力；二是根据万有引力提供向心力列方程进行解答．