Question

12．如图所示，ABCD是一直角梯形棱镜的横截面，位于截面所在平面内的一束光线由O点垂直AD射入．已知棱镜的折射率n=$\sqrt{2}$，AB=BC=6cm，OA=1.5cm，∠OAB=60°，求：
①临界角及光线第一次射出棱镜时，出射光线的方向．
②第一次的出射点到D点的距离．

Answer 1

分析 ①根据sinC=$\frac{1}{n}$，求出临界角的大小，判断知道光线在AB面和BC面能否发生全反射，从而作出光路图，根据几何关系，结合折射定律求出出射光线的方向．
②根据几何关系，求出第一次的出射点距D点的距离．

解答 解：①设全反射的临界角为C，则有：sin C=$\frac{1}{n}$
代入数据得：C=45°
光路图如图所示，由几何关系可知光线在AB边和BC边的入射角均为60°，均发生了全反射
设光线在CD边的入射角为i、折射角为r，由几何关系得 i=30°，小于临界角，则光线第一次射出棱镜是在CD边
由折射定律得：n=$\frac{sinr}{sini}$
代入数据得：r=45°
故光线第一次从CD边射出棱镜时与CD边成45°角斜向左下方．
②由几何知识可知：AE=2OA=3cm，BF=EB=AB-AE=6cm-3cm=3cm
FC=BC-BF=6cm-3cm=3cm
出射点G距D点的距离为：
GC=DC-FCtan30°=OAtan60°-FCtan30°=1.5×$\sqrt{3}$-3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cm    
答：①临界角为45°，光线第一次从CD边射出棱镜时与CD边成45°角斜向左下方．
②第一次的出射点到D点的距离是$\frac{\sqrt{3}}{2}$cm．

点评 解决本题的关键掌握全发射的条件，以及折射定律，作出光路图，结合几何关系进行求解．