Question

5．一辆汽车质量为2×10³kg，额定功率为3×10⁴W．在水平路面由静止开始作直线运动，运动中汽车所受阻力恒定，发动机的最大牵引力为3×10³N，汽车以额定功率行驶100s时速度达到最大，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数$\frac{1}{v}$的关系如图所示，求：
（1）汽车能达到最大速度
（2）汽车由启动到最大速度时的位移．

Answer 1

分析 （1）根据图示得到最大速度时的牵引力，即可根据功率P=Fv求得最大速度；
（2）首先根据最大速度时的牵引力求得摩擦力，然后根据最大牵引力求得匀加速运动阶段的加速度，再由图得到匀加速运动的末速度即可求得匀加速运动的位移；然后根据动能定理求得额定功率启动阶段的位移．

解答 解：（1）由图可知，牵引力取得最小值F₁=1000N时，汽车的速度最大为v₂，又有汽车的额定功率为：P=3×10⁴W，所以有：${v}_{2}=\frac{P}{{F}_{1}}=30m/s$；
（2）由（1）可知，当牵引力取得最小值F₁=1000N时，汽车做匀速直线运动，速度达到最大值，故汽车受到的摩擦力为：f=F₁=1000N；
汽车从静止开始以最大牵引力做匀加速直线运动，加速度为：$a=\frac{{F}_{AB}-f}{m}=1m/{s}^{2}$；
当汽车速度达到：${v}_{1}=\frac{P}{{F}_{AB}}=10m/s$后，汽车做恒定功率启动；
所以，汽车匀加速启动的位移为：${x}_{1}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2a}=50m$；
汽车以额定功率启动时，只有摩擦力和牵引力做功，故由动能定理可得：$Pt-f{x}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$；
所以，${x}_{2}=\frac{Pt-\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}}{f}$=$\frac{3×1{0}^{4}×100-\frac{1}{2}×2×1{0}^{3}×3{0}^{2}+\frac{1}{2}×2×1{0}^{3}×1{0}^{2}}{1000}=2200m$；
所以，汽车由启动到最大速度时的位移为x₁+x₂=2250m；
答：（1）汽车能达到最大速度为30m/s；
（2）汽车由启动到最大速度时的位移为2200m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．