Question

11．一些恒星在它一生的最后阶段，可以通过强大的引力把其中的物质紧紧的压在一起，密度很大，使以3×10⁸m/s的速度传播的光都不能逃逸，这样的天体可以称为黑洞，如果太阳的质量为2×10³⁰kg，引力常量为G=6.67×10^-11N•m²/kg²，倘若要把太阳收缩成黑洞，则下列说法中错误的是（已知黑洞的逃逸速度为第一宇宙速度的$\sqrt{2}$倍）（　　）

• A． 太阳的半径应小于2.96km
• B． 太阳的密度可能为1.8×10²⁰kg/m³
• C． 太阳的密度可能为1.8×10¹⁸kg/m³
• D． 太阳表面的重力加速度大小可能为地球表面重力加速度大小的10¹³倍

Answer 1

分析 任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速，根据$c≤\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，求出太阳的半径范围，根据密度公式求太阳的密度，根据重力加速度的公式$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$求太阳表面的重力加速度，结合选项进行求解

解答 解：A、由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸，太阳收缩成黑洞，则黑洞质量为太阳质量，根据$c≤\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，得
$R≤\frac{2GM}{{c}_{\;}^{2}}=\frac{2×6.67×1{0}_{\;}^{-11}×2×1{0}_{\;}^{30}}{（3×1{0}_{\;}^{8}）_{\;}^{2}}$=$2.96×1{0}_{\;}^{3}m$，即太阳的半径应小于2.96km，故A正确；
BC、太阳的体积$V≤\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}=1.09×1{0}_{\;}^{11}{m}_{\;}^{3}$，太阳的密度$ρ≥\frac{M}{V}=\frac{2×1{0}_{\;}^{30}}{1.09×1{0}_{\;}^{11}}=1.8×1{0}_{\;}^{19}kg/{m}_{\;}^{3}$，故B正确，C错误；
D、太阳表面的重力加速度$g≥\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{6.67×1{0}_{\;}^{-11}×2×1{0}_{\;}^{30}}{（2.96×1{0}_{\;}^{3}）_{\;}^{2}}$=$1.5×1{0}_{\;}^{13}m/{s}_{\;}^{2}$，地球表面重力加速度$g′=10m/{s}_{\;}^{2}$
$\frac{g}{g′}≥\frac{1.5×1{0}_{\;}^{13}}{10}=1.5×1{0}_{\;}^{12}$，故太阳表面的重力加速度大小可能为地球表面重力加速度的$1{0}_{\;}^{13}$倍，故D正确
本题选错误的，故选：C

点评 本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速