Question

6．如图所示，一质量为m=1.0kg的滑块从固定斜面上的A点由静止开始下滑，斜面倾角θ=37°，水平放置且长为L=8.5m的传送带与斜面下端平滑连接．已知滑块与斜面间的动摩擦因数为μ₁=0.5，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ₂=0.4，A点与传送带的竖直距离为h=2.4m，sin37°，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²．
（1）若传送带静止不动，试计算滑块在传送带上滑行的距离．
（2）若传送带以v=6m/s的速度顺时针匀速动，试计算滑块从A点开始运动到达传送带最右端所用的时间．

Answer 1

分析 （1）对A进行受力分析，利用动能定理求的滑块到达传送带的速度；然后由动能定理即可求出传送带上滑行的距离；
（2）先判断出物体加速度与传送带具有相同速度所需时间，求出位移，即可判断，再利用运动学公式求的时间．

解答 解：（1）小滑块向下运动的过程中受到重力、支持力和摩擦力的作用，其中重力做正功，摩擦力做负功，由动能定理得：
$mgh-{μ}_{1}mgcosθ•\frac{h}{sinθ}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入数据得：v₁=4m/s
若传送带静止不动，滑块在传送带上滑行的过程中摩擦力做功，则：
${-μ}_{2}mgx=0-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入数据得：x=2m
（2）滑块在斜面上做匀加速直线运动，则平均速度：$\overline{v}=\frac{{v}_{1}}{2}=\frac{4}{2}m/s=2$m/s
运动的时间：${t}_{1}=\frac{\frac{h}{sinθ}}{\overline{v}}=\frac{\frac{2.4}{sin37°}}{2}=2$s
由于传送带的速度：v₂=6m/s＞4m/s，所以滑块先在传送带上做加速运动，滑块在传送带上的加速度为：
a=$\frac{f}{m}=\frac{{μ}_{2}mg}{m}={μ}_{2}g=0.4×10=4m/{s}^{2}$
加速的时间为：${t}_{2}=\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{6-4}{4}s=0.5$s
0.5s内滑块的位移为：${x}_{1}={v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$
代入数据得：x₁=2.5m＜8.5m
可知物块在传送带上先加速后匀速，到达传送带右端的速度是6m/s，匀速运动的时间为：
${t}_{3}=\frac{L-{x}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{8.5-2.5}{6}s=1$s
所以滑块运动的总时间为：t=t₁+t₂+t₃=2s+0．s5+1s=3.5s
答：（1）若传送带静止不动，滑块在传送带上滑行的距离是2m．
（2）若传送带以v=6m/s的速度顺时针匀速动，滑块从A点开始运动到达传送带最右端所用的时间是3.5s．

点评 物块在传送带上滑动时，可能一直减速（或加速），也可以先减速后匀速，注意物块的速度与传送带的速度之间的关系，分析清楚物体的运动的情况，是求解的关键．