Question

19．若金星和地球的公转轨道均视为圆形，且在同一平面内，如图所示．在地球上观测，发现金星与太阳可呈现的视角（太阳与金星均视为质点，它们与眼睛连线的夹角）有最大值，最大视角的正弦值为k，则金星的公转周期为（　　）

• A． $（1-{k}^{2}）^{\frac{3}{2}}$年
• B． $（1-{k}^{2}）^{\frac{3}{4}}$年
• C． k³年
• D． $\sqrt{{k}^{3}}$年

Answer 1

分析 根据几何关系求出金星的轨道半径和地球的轨道半径的关系，根据开普勒第三定律，得出金星的公转周期

解答 解：金星与太阳的最大视角出现的情况是地球上的人的视线看金星时，视线与金星的轨道相切，如图所示．θ为最大视角，由图可知
$sinθ=\frac{{r}_{金}^{\;}}{{r}_{地}^{\;}}$
根据题意，最大正弦值为k，则有：
$\frac{{r}_{金}^{\;}}{{r}_{地}^{\;}}=k$
根据开普勒第三定律有：$\frac{{r}_{金}^{3}}{{r}_{地}^{3}}=\frac{{T}_{金}^{2}}{{T}_{地}^{2}}$
联立以上几式得：$\frac{{T}_{金}^{2}}{{T}_{地}^{2}}={k}_{\;}^{3}$
解得：${T}_{金}^{\;}=\sqrt{{k}_{\;}^{3}}{T}_{地}^{\;}=\sqrt{{k}_{\;}^{3}}$，D正确，ABC错误；
故选：D

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，本题对数学能力要求较高，需加强训练