Question

8．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一半径为R圆形区域内有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外，圆形区域的圆心P在x轴上，OP=R．一质量为m、电量为q带正电的粒子从N点沿平行于x轴正方向进入匀强磁场，入射点N到x轴的距离为h，粒子重力不计．则：
（1）粒子经过磁场射出时的速度方向恰好与其入射方向相反，求粒子的入射速度大小．
（2）若h=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$R，粒子以另一速度从N点射入恰好能从O点射出，求该情况下粒子速度大小和从N点经磁场偏转到达O点的时间．

Answer 1

分析 （1）先画出粒子的运动轨迹，然后由几何知识确定出半径，然后根据牛顿第二定律列方程求速度；
（2）根据几何关系，确定出圆心角，然后表示出周期公式，最后求时间．

解答 解：（1）粒子出射方向与入射方向相反，在磁场中走了半周，其半径r₁=h，
则 qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
所以v₁=$\frac{qBh}{m}$
（2）粒子恰好从O点射出，其运动轨迹如图，当h=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$R时，可知∠NPQ=$\frac{π}{3}$
在△OO₁Q中，r²=（R-Rcos$\frac{π}{3}$）²+（h-r）²；
解得 r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R
设粒子从N点射入磁场的速度为v₂，根据牛顿第二定律得：qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$
解得 v₂=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$
粒子运动时间为 t=$\frac{\frac{4π}{3}}{2π}$T=$\frac{2}{3}$T
又粒子运动的周期为 T=$\frac{2πm}{qB}$
故联立得 t=$\frac{4πm}{3qB}$
答：
（1）粒子的入射速度大小为$\frac{qBh}{m}$．
（2）该情况下粒子速度大小是$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$，从N点经磁场偏转到达O点的时间为$\frac{4πm}{3qB}$．

点评 考查了带电离子在磁场中的运动，会定圆心、找半径，结合圆周运动求相关量．