Question

13．回旋加速器的工作原理如图1所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为m，电荷量为+q，加在狭缝间的交变电压如图2所示，电压值的大小为U_b．周期T=$\frac{2πm}{qB}$．一束该粒子在t=0-$\frac{T}{2}$ 时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零．现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用．求：
（1）出射粒子的动能E_m；
（2）粒子从飘入狭缝至动能达到E_m所需的总时间t_总；
（3）要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出，d应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，依据洛伦兹力提供向心力，结合动能的表达式，即可求解；
（2）根据一次加速获得的动能，结合总动能，从而确定加速的次数，再依据运动学公式，求得在电场中加速的时间，最后根据粒子在磁场中的周期公式，即可求解；
（3）根据只有在0到（$\frac{T}{2}$-△t）时间内，飘入的粒子才能每次均被加速，结合有超过99%能射出，从而即可求解．

解答 解：（1）粒子运动半径为R时，依据牛顿第二定律，结合洛伦兹力提供向心力，
则有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
且E_m=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：E_m=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$；
（2）粒子被加速n次到达动能为E_m，则E_m=nqU₀，
粒子在狭缝间做匀加速运动，设n次经过狭缝的总时间为△t；
而加速度a=$\frac{q{U}_{0}}{md}$
因匀加速直线运动，依据运动学公式，则有：nd=$\frac{1}{2}a△{t}^{2}$
由t₀=（n-1）$\frac{T}{2}$+△t，
解得：t₀=$\frac{πB{R}^{2}+2BRd}{2{U}_{0}}-\frac{πm}{qB}$
（3）只有在0到（$\frac{T}{2}$-t）时间内，飘入的粒子才能每次均被加速，
由运动学公式，则有：d=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
a=$\frac{q{U}_{0}}{md}$；
那么t=d$\sqrt{\frac{2m}{q{U}_{0}}}$
因△t＜$\frac{T}{2}$×1%，
解得：d＜$\frac{π}{100B}\sqrt{\frac{m{U}_{0}}{2q}}$
答：（1）出射粒子的动能$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$；
（2）粒子从飘入狭缝至动能达到E_m所需的总时间$\frac{πB{R}^{2}+2BRd}{2{U}_{0}}-\frac{πm}{qB}$；
（3）要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出，d应满足的条件：d＜$\frac{π}{100B}\sqrt{\frac{m{U}_{0}}{2q}}$．

点评 考查牛顿第二定律与向心力的表达式的内容，掌握依据一次加速获得的动能，从而求得加速的次数是解题的突破口，理解只有在0到（$\frac{T}{2}$-△t）时间内，飘入的粒子才能每次均被加速，注意粒子在电场一直处于匀加速的原因是粒子在磁场中速度大小不变，最后掌握粒子在磁场中运动的周期公式．