Question

19．如图所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的长方形区域中有一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外．O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内（包括ox、oy轴）．若粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{12}$，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{4}$．不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则
（1）粒子的入磁场的速度大小为多少？
（2）求长方形区域的边长满足关系．

Answer 1

分析 （1）根据题意，粒子运动时间最短时，其回旋的角度最小，画出运动轨迹，根据几何关系列出方程求解出轨道半径，再根据洛伦兹力提供向心力得出速度大小；
（2）最后离开磁场的粒子，其运动时间最长，由题意画出运动的轨迹，故可以根据几何关系列出方程求变长之间的关系．

解答 解（1）最先从磁场上边界中飞出的带电粒子的运动轨迹可如图表示：
可知此时粒子在磁场中偏转的圆心角为30°，根据几何关系得粒子运动的半径r=2a，
根据牛顿第二定律有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
粒子的射入磁场的速度大小：v=$\frac{2qBa}{m}$；
（2）最后从磁场中飞出的带电粒子在磁场中的运动轨迹可如图表示：
设发射方向与y轴正方向的夹角为α，根据几何关系有：
rsinα=r-a，rsinα=b-rcosα，解得：α=30°，b=（1+$\sqrt{3}$）a；
答：（1）粒子的入磁场的速度大小为$\frac{2qBa}{m}$．
（2）长方形区域的边长满足关系为：b=（1+$\sqrt{3}$）a．

点评 本题关键是画出运动时间最短的粒子的运动轨迹，然后根据几何关系得到轨道半径，再根据洛仑兹力提供向心力得到速度大小．