Question

3．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量均为m四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已知稳定的四星系统存在一种形式是（如图1所示）：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗位于其中心，三个顶点上三颗星沿外接等边三角形的圆形轨道运行，等边三角形边长为a，引力常量为G．求：

（1）顶点上星体做匀速圆周运动的轨道半径R₁；
（2）等边三角形顶点上星体受的合力F₁；
（3）三颗星沿外接等边三角形的圆形轨道运行周期T₁；
（4）已知稳定的四星系统存在另一种形式是（如图2所示）：四颗星位于正方形的四个顶点上，四颗星均围绕正方形的中心做匀速圆周运动，正方形边长为a．四颗星围绕正方形中心做匀速圆周运动周期T₂．请判断T₁和T₂的大小，并说出你判断的理由．

Answer 1

分析 （1）结合几何关系即可求出顶点上星体做匀速圆周运动的轨道半径R₁；
（2）根据万有引力定律，结合矢量合成的方法即可求出等边三角形顶点上星体受的合力F₁；
（3）明确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源．在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力，根据F_合=mr（$\frac{2π}{T}$）²，求出星体匀速圆周运动的周期．
（4）同（3）的方法求出周期，然后比较即可．

解答 解：（1）对三绕一模式，等边三角形边长为a，三颗绕行星轨道半径均为r，由几何关系得三角形的边长为a=$\sqrt{3}$r，即r₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
（2）根据矢量合成的方法可得：${F}_{1}=2•\frac{{Gm}^{2}}{{a}^{2}}cos30°+G\frac{{m}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$=$\frac{（3+\sqrt{3}）G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
（3）由所受合力等于向心力得
$\frac{（3+\sqrt{3}）G{m}^{2}}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}{r}_{1}$
解得：T₁=$2π\sqrt{\frac{（3-\sqrt{3}）{a}^{3}}{2Gm}}$
（4）对于第二种形式：
星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径半径r₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$
由万有引力定律和向心力公式得：$\frac{G{m}^{2}}{2{a}^{2}}+2\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$cos45°=m${r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
解得：T₁=2πa$\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$
联立得：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{（4-\sqrt{2}）（3+\sqrt{3}）}{21}}$≈$\sqrt{0.58}$＜1
答：（1）顶点上星体做匀速圆周运动的轨道半径是$\frac{\sqrt{3}}{3}$a；
（2）等边三角形顶点上星体受的合力F₁是$\frac{（3+\sqrt{3}）G{m}^{2}}{{a}^{2}}$；
（3）三颗星沿外接等边三角形的圆形轨道运行周期T₁是$2π\sqrt{\frac{（3-\sqrt{3}）{a}^{3}}{2Gm}}$；
（4）已知稳定的四星系统存在另一种形式是（如图2所示）：四颗星位于正方形的四个顶点上，四颗星均围绕正方形的中心做匀速圆周运动，正方形边长为a．四颗星围绕正方形中心做匀速圆周运动周期T₂．则T₁小于T₂的大小．

点评 知道在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．
万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析．