Question

15．宇航员驾驶宇宙飞船到达月球表面附近，关闭动力后，飞船在近月圆轨道绕月球运行的周期为T；接着，宇航员调整飞船动力，安全着陆，宇航员在月球表面离地H高处将一小球以某一初速度水平抛出，测出其水平射程为x，已知月球的半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）月球的质量M；
（2）小球开始抛出时的初速度v．

Answer 1

分析 飞船绕月近地运行，月球对飞船的万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，化简可得月球的质量M；在月球表面重力提供向心力，求出月球表面重力加速度，再根据平抛运动的规律，分别在水平方向上和竖直方向上列出位移与时间的关系，联立方程即可求解．

解答 解：（1）飞船绕月近地运行，月球对飞船的万有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，有：
x=vt
竖直方向做自由落体运动，有：
H=$\frac{1}{2}$gt²
在月球表面，小球受到月球的万有引力近似等于重力，有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：g=$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：v=$x\sqrt{\frac{g}{2H}}$=$x\sqrt{\frac{4{π}^{2}R}{2H{T}^{2}}}$
答：（1）月球的质量M为$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）小球开始抛出时的初速度v为$x\sqrt{\frac{4{π}^{2}R}{2H{T}^{2}}}$．

点评 本题主要考查万有引力提供向心力这个关系和平抛运动的分运动规律，字母运算多，要细心，难度适中．