Question

17．质量为m的人造地球卫星，它在离地面的距离等于地球半径R的圆形轨道上运行时（地球表面的重力加速度为g）（　　）

• A． 速率为$\sqrt{2gR}$
• B． 周期为4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
• C． 动能为$\frac{1}{2}$mgR
• D． 加速度为$\frac{g}{2}$

Answer 1

分析 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出线速度、角速度、周期和向心加速度的表达式，再结合地球表面重力加速度的公式进行解答即可．

解答 解：卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$=ma
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
在地球表面的物体受到的重力等于万有引力，可得：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
则得：GM=R²g
由题，卫星的轨道半径 r=2R，代入解答：
A、卫星运动的速率为：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{2R}}$=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$，故A错误．
B、卫星运动的周期为：T=2π $\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=2π$\sqrt{\frac{（2R）^{3}}{g{R}^{2}}}$=4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，故B正确．
C、动能为 E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{4}$mgR，故C错误．
D、卫星运动的加速度为：a=$\frac{1}{4}$g．故D错误．
故选：B

点评 本题关键根据人造卫星的万有引力等于向心力，以及地球表面重力等于万有引力列两个方程，通过数学变形研究．