Question

2．已知某星球的自转周期为T₀，在该星球赤道上以初速度v₀竖直上抛一物体，经时间t物体上升到最高点，已知物体在赤道上随星球自转的向心加速度为α，求该星球近地卫星的环绕速度v．

Answer 1

分析 先求出星球表面的重力加速度，根据向心加速度公式求出星球半径，根据$v=\sqrt{gR}$求星球的近地卫星的环绕速度

解答 解：根据竖直上抛运动规律得星球表面的重力加速度为：$g=\frac{{v}_{0}^{\;}}{t}$
根据向心加速度公式：$a={ω}_{\;}^{2}R=（\frac{2π}{{T}_{0}^{\;}}）_{\;}^{2}R=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{0}^{2}}R$
得星球半径为：$R=\frac{a{T}_{0}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}$
物体在赤道上随星球自转，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg+ma$
该星球的近地卫星，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\frac{{T}_{0}^{\;}}{2π}\sqrt{\frac{（at+{v}_{0}^{\;}t）a}{t}}$
答：该星球近地卫星的环绕速度$\frac{{T}_{0}^{\;}}{2π}\sqrt{\frac{（at+{v}_{0}^{\;}t）a}{t}}$

点评 解决本题的关键能灵活运用竖直上抛运动运动学公式和圆周运动的基本公式，知道近地环绕的卫星万有引力提供向心力．