Question

17．在2014年第十届珠海航展上，中国火星探测系统首次亮相，中国火星探测系统也由环绕器和着陆巡视器组成，火星探测系统到达距火星表面某一高度时，释放的环绕器环绕火星做匀速圆周运动，周期为T．着陆器到达火星表面着陆的最后阶段，需经过多次弹跳才能停下来，设着陆器某次从火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度大小为v₀，方向水平之后落到火星表面时速率为v₀，不计大气阻力，忽略火星的自转，已知火星半径为R，引力常量为G，将火星视为球体，求：
（1）火星的平均密度；
（2）“环绕器”距离火星表面的高度．

Answer 1

分析 （1）在火星表面的物体受到的重力等于万有引力mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，平抛过程中机械能守恒$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₀²+mgh，联立可解出火星的质量，再根据密度的定义式可以计算出火星的密度．
（2）环绕器环绕火星做匀速圆周运动，周期为T，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）设物体在火星表面的重力加速度为a，平抛过程中，由机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₀²+mgh
对天体表面的物体有：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
联立解得：
g=$\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2h}$
M=$\frac{（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）{R}^{2}}{2Gh}$
故火星的平均密度为：
ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）{R}^{2}}{2Gh}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）}{8πGRh}$
（2）环绕器环绕火星做匀速圆周运动，周期为T，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+H）$
解得：
H=$\sqrt{\frac{（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}-R$
答：（1）火星的平均密度为$\frac{3（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）}{8πGRh}$；
（2）“环绕器”距离火星表面的高度为$\sqrt{\frac{（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}-R$．

点评 本题要掌握忽略星球自转的情况下，星球表面的物体受到的重力等于星球对它的万有引力．