Question

7．如图所示，坐标系xOy平面的第一象限内存在匀强电场，场强沿y轴正方向；第四象限内有一个以O₁为圆心，半径为a的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直xoy平面（纸面）向里，一电量为q，质量为m的带负电的运动粒子，经过y=a处的点P₁时速率为v₀，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x=2a处的P₂点，最后进入圆形磁场区，并经过y轴上y=-4a处的P₃点，已知O₁点坐标为（3a，-a），不计粒子重力，求：
（1）电场强度E的大小；
（2）粒子到达P₂时速度V的大小和方向；
（3）磁感应强度B的大小及粒子在磁场中运动的时间t的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，根据平抛运动的基本公式即可求解E；
（2）先求出沿y轴方向的速度，再根据矢量合成原则求解速度大小，根据几何关系求解方向；
（3）根据题意画出粒子在磁场中的运动轨迹，结合几何关系和粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式求解．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向做匀速直线运动，则有：t=$\frac{2a}{{v}_{0}}$，
竖直方向做匀加速直线运动，则有：$a=\frac{1}{2}•\frac{Eq}{m}•{t}^{2}$
解得：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2aq}$，
（2）到达P₂点时，沿y轴方向的速度${v}_{y}=\frac{Eq}{m}t=\frac{m{{v}_{0}}^{2}q}{2aqm}•\frac{2a}{{v}_{0}}={v}_{0}$，
所以到达P₂点时的速度大小v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$，
设速度方向与x轴方向的夹角为θ，则有：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$，
所以θ=45°
（3）根据（2）可知，粒子以与水平方向成45°角射入磁场，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知，
AP₃=3a，AO₁=3a，所以∠AO₁P₃=45°，运动轨迹如图所示：

根据几何关系可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R=a，运动轨迹对应的圆心角为90°，则有：
a=$\frac{mv}{Bq}$
解得：B=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{aq}$，
粒子在磁场中运动的时间t=$\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}•\frac{2πm}{Bq}=\frac{\sqrt{2}πa}{4{v}_{0}}$．
答：（1）电场强度E的大小为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2aq}$；
（2）粒子到达P₂时速度V的大小为$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向与x轴正方向成45°角；
（3）磁感应强度B的大小为$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{aq}$，粒子在磁场中运动的时间t的大小为$\frac{\sqrt{2}πa}{4{v}_{0}}$．

点评 带电粒子在组合场中的运动问题，首先要运用动力学方法分析清楚粒子的运动情况，再选择合适方法处理．对于匀变速曲线运动，常常运用运动的分解法，将其分解为两个直线的合成，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解；对于磁场中圆周运动，要正确画出轨迹，由几何知识求解半径．