Question

18．有一种“弹珠游戏”可简化为下述模型：水平轨道与半径为r的光滑半圆轨道在M点平滑连接．轻质弹簧左端固定．自然伸长时右端在Q点．质量为m的小球A搁在弹簧另一端，与弹簧接触但未连接，如图所示．水平轨道Q点左侧光滑，小球A与右侧QM段轨道间的动摩擦因数为μ，QM=2r．第一次小球A在水平外力F的拉动下缓慢压缩弹簧移动到P点，释放后，恰能运动到与圆心O等高的D点；第二次稍做调整，把小球A拉到P点左侧的S点再释放，小球恰能通过圆轨道的最高点N．设重力加速度为g．
（1）第一次释放小球A后，刚进入圆轨道M点时对轨道的压力；
（2）第一次释放小球时弹簧弹性势能E_p1与第二次释放小球时弹簧弹性势能E_p2之比．

Answer 1

分析 （1）第一次释放小球A后，先由机械能守恒定律求出小球通过M点的速度，再由牛顿第二、第三定律求解小球在M点时对轨道的压力；
（2）根据能量守恒定律求出第一次释放小球时弹簧弹性势能E_p1；第二次小球恰能通过圆轨道的最高点N，由重力提供向心力，列式可求出小球通过N点的速度；再由能量守恒定律求解弹簧弹性势能E_p2．即可求解．

解答 解：（1）设过M点时小球的速度为v，由机械能守恒有：
  mgr=$\frac{1}{2}$mv²，
在M点，对小球进行受力分析有：
 N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
联立以上两式得：N=3mg
由牛顿第三定律得，小球对轨道压力大小为3mg，方向竖直向下；
（2）第一次释放小球，由能量守恒有：
  E_p1=2μmgr+mgr
第二次释放小球，恰能过N点，则有：mg=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{r}$
可得在N点的速度为：v_N=$\sqrt{gr}$
由能量守恒有：
  E_p2=2μmgr+mg•2r+$\frac{1}{2}$mv_N²，
则$\frac{{E}_{P1}}{{E}_{P2}}$=$\frac{2+4μ}{5+4μ}$
答：
（1）第一次释放小球A后，刚进入圆轨道M点时对轨道的压力大小为3mg，方向竖直向下；
（2）第一次释放小球时弹簧弹性势能E_p1与第二次释放小球时弹簧弹性势能E_p2之比（2+4μ）：（5+4μ）．

点评 本题考查了能量的转化和守恒定律，同时还有机械能守恒和向心力知识，关键要分析清楚运动过程，选择相应的物理规律，能熟练运用牛顿第二定律、能量守恒定律等规律正确解题．