Question

4．如图所示，方形木箱质量为M，其内用两轻绳将一质量m=2.0kg的小球悬挂于P、Q两点，两细绳与水平的车顶面的夹角分别为60°和30°．水平传送带AB长l=24$\sqrt{3}$m，以v=4$\sqrt{3}$m/s的速度顺时针转动，木箱与传送带间动摩擦因数?=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，（g=10m/s²）求：
（1）设木箱为质点，且木箱由静止放到传送带上，那么经过多长时间木箱能够从A运动到传送带的另一端B处； 
（2）木箱放到传送带上A点后，在木箱加速的过程中，绳P和绳Q的张力大小分别为多少？

Answer 1

分析 （1）木箱由静止放到传送带上，水平方向先做受到滑动摩擦力，做匀加速直线运动，由牛顿第二定律求出加速度，由速度公式求出木箱速度与传送带相同时经历的时间和通过的位移，并判断木箱是否有匀速运动过程．如有，求出时间，再求总时间．
（2）由牛顿第二定律求出绳P恰好张力时木箱的加速度a₀，根据a₀与木箱加速过程的加速度a的大小比较，判断绳P是否有张力，再由牛顿第二定律求解两绳的张力．

解答 解：（1）木箱由静止放到传送带上，开始过程，根据牛顿第二定律，对木箱及小球整体有：
μ（M+m）g=（M+m）a
得：a=μg=$\frac{\sqrt{3}}{5}$×10m/s²=2$\sqrt{3}$m/s²
木箱匀加速位移为：x₁=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{（4\sqrt{3}）^{2}}{2×2\sqrt{3}}$=4$\sqrt{3}$m
木箱匀加速时间为：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$s=2s
x₁=4$\sqrt{3}$m＜l=24$\sqrt{3}$m，所以木箱与传送带共速后还要匀速运动一段距离，木箱匀速时运动的时间为t₂，有：l-x₁=vt₂
解得：t₂=5s
所以木箱从A运动到传送带另一端B处经历时间为：t=t₁+t₂=7s
（2）设绳P和绳Q的张力大小分别为F₁和F₂．
根据牛顿第二定律得：
竖直方向有：F₁sin30°+F₂sin60°=mg
水平方向有：F₂cos60°-F₁cos30°=ma
联立解得  F₁=4N，F₂=12$\sqrt{3}$N
答：（1）木箱由静止放到传送带上，经过7s时间木箱能够从A运动到传送带的另一端B处；
（2）木箱放到传送带A点后，在木箱加速的过程中，绳P和绳Q的张力大小分别为4N和12$\sqrt{3}$N．

点评 本题关键是对小球受力分析，根据牛顿第二定律列出方程求解出各个力的表达式，然后进行讨论．