Question

20．如图，质量均为m，可视为质点的A、B两物体紧挨着静止在水平面上的O点，左边有竖直墙壁M，右边在N点与光滑的、半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧槽相连，MO=R，ON=3R，A物体与水平面间的摩擦力忽略不计，B物体与水平面间的动摩擦因数为0.5．现让A物体以初速度v₀向左开始运动，设A与竖直墙壁、A与B均发生无机械能损失的碰撞．要使B物体第一次被A碰撞后，恰能上升至圆弧槽最高点P点，已知重力加速度为g，求：

（a）A物体的初速度v₀？
（b）B物体最终停在何处？

Answer 1

分析 （a）根据动能定理求出B恰好上升到P点的初速度，再根据动量守恒定律和能量守恒定律求出A与B碰撞的速度，即为A物体的初速度．
（b）对全过程应用动能定理，因为B物体的最终速度为零，根据动能定理求出B物体运动的路程，从而确定B物体所停的位置

解答 解：a、因A、B相互作用时无机械能损失，有机械能守恒有：
$\frac{1}{2}m{v_0}^2=\frac{1}{2}m{v_1}^2+\frac{1}{2}m{v_2}^2$…①
碰撞时动量也守恒，有：mv₀=mv₁+mv₂…②
由①②两式解得：v₂=v₀…③
即A、B是一定在O点进行且速度互换． 　　 
要使B物体恰能上升至圆弧最高点P点，求A物体的初速度，即是求B物体在O点向右出发的速度．对B物体从O点至P点，由动能定理得：$-μmg3R-mgR=0-\frac{1}{2}m{v_0}^2$…④
由③④解之得：${v_0}=\sqrt{5gR}$…⑤
b、若v₀不变，设B物体在ON间运动的总路程为s，从P点开始，对B物体用动能定理：
mgR-μmgs=0-0…⑥
所以：s=2R…⑦
故B物体最终停在N点左侧2R处．
答：（a）A物体的初速度v₀为$\sqrt{5gR}$；
（b）B物体最终停在N点左侧2R处．

点评 本题综合考查了动能定理、动量守恒定律和能量守恒定律，关键是理清运动过程，选择合适的规律求解．以及掌握一些结论，质量相等的物体碰撞时无能量损失，两个物体速度互换．