题目内容

12．如图所示，在直角坐标系xOy中，点M（0，1）处不断向+y方向发射出大量质量为m、带电荷量为-q的粒子，粒子的初速度大小广泛分布于零到v0之间．已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿+x方向穿过b区域，都沿-y方向通过点N（3，0）．
（1）通过计算，求出符合要求的全部磁场范围的最小面积；
（2）在所给的坐标系中画出粒子运动轨迹示意图．
（3）若其中速度为k1v0和k2v0的两个粒子同时到达N点（1＞k1＞k2），求二者发射的时间差．

分析 带电粒子沿y轴正方向射入，在磁场的洛伦兹力作用下发生偏转，然后所以粒子沿+x方向经过b区域，则磁场的右边界由数学关系推导出与R无关，而是一条直线．那么磁场的左边界则是一段圆弧，其半径由洛伦兹力提供向心力公式求解得．由于对称，则可求出磁场的最小面积．两种粒子在磁场中运动时间是相等，它们发射的时间差是因速度不同导致的．

解答 解：（1）在a区域，设任一速度为v的粒子偏转90°后从（x，y）离开磁场，
由几何关系有x=R，$y=R+\frac{{m{v_0}}}{qB}$，
得：$y=x+\frac{{m{v_0}}}{qB}$，
上式与R无关，说明磁场右边界是一条直线，左边界是速度为v0的粒子的轨迹为：$q{v_0}B=m\frac{{{v_0}^2}}{R_0}$，${R_0}=\frac{{m{v_0}}}{qB}$
此后粒子均沿+x方向穿过b区域，进入c区域，由对称性知，其磁场区域如图．
磁场的面积为：$S=2（\frac{1}{4}π{R_0}^2-\frac{1}{2}{R_0}^2）=（\frac{π}{2}-1）\frac{{{m^2}{v_0}^2}}{{{q^2}{B^2}}}$
（2）粒子运动轨迹示意图如图所示（画出其中一条即可）
（3）速度为k1v0的粒子在a区域磁场的时间为：${t_1}=\frac{πm}{2qB}$
两个阶段的直线运动的时间共为：${t}_{2}=\frac{\frac{3m{v}_{0}}{qB}-\frac{2m{k}_{1}{v}_{0}}{qB}}{{k}_{1}{v}_{0}}$=$（\frac{3}{{k}_{1}-2}）\frac{m}{qB}$
在c区域磁场的时间为：${t_3}=\frac{πm}{2qB}$
所以这两个粒子的发射时间差只与t2有关，同理可得速度为k2v0的粒子在直线运动阶段的时间为：
${t}_{2}′=（\frac{3}{{k}_{2}}-2）•\frac{m}{qB}$△t=t2′-t2=$\frac{3（{k}_{1}-{k}_{2}）m}{{k}_{1}{k}_{2}qB}$
答：（1）通过计算，求出符合要求的全部磁场范围的最小面积是$（\frac{π}{2}-1）\frac{{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$；
（2）在所给的坐标系中画出粒子运动轨迹示意图如图．
（3）二者发射的时间差是$\frac{3（{k}_{1}-{k}_{2}）m}{{k}_{1}{k}_{2}qB}$．

点评 利用数学表达式，导出磁场右边界的函数关系式．同时相同粒子不同速度在磁场中的时间是相等，由于速度的不同，导致直线运动中时间不一

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