Question

2．如图所示，中空、内壁光滑的直玻璃管，竖立在地面上，内一根轻弹簧固定在管的底部，一质量为m的小球，从离管底高h处由静止释放，小球释放开始至运动到最低点的过程中，所受的合力随高度变化的关系如图所示，重力加速度g取10m/s²，求：
（1）小球的质量；
（2）弹簧的劲度系数；
（3）若小球从高h₀=1.3m处由静止落下，求小球下落到最低点时的高度h₃（设小球下落过程中弹簧的形变在弹性限度内）

Answer 1

分析 （1）由图象可知当高度大于1m时小球所受合力恒为40N，可知此时小球只受重力不受弹力作用，故可得小球的重力为40N，由重力加速度可求得小球的质量；
（2）据图象可知，弹簧的原长为1m，当小球所受合力为零时弹簧弹力和重力大小相等，据此求得弹簧的劲度系数；
（3）根据弹性势能的表达式，由能量关系分析此时小球下落至最低点时的高度．

解答 解：（1）由图象知小球所受合力在高度大于1m时相同，故可知在此范围内小球只受重力，即小球的重力G=mg=40N
故可知，小球的质量m=$\frac{G}{g}=\frac{40}{10}kg=4kg$
（2）由图象知，小球高度从1m开始向下受到弹力作用，故知弹簧的原长L=1m，当小球压缩弹簧至弹力与重力平衡时小球所受合力为零，由图示可知，此时弹簧长度等于小球的高度h′=0.8m
在此过程中，弹簧压缩的长度x=L-h′=1-0.8m=0.2m
此时弹簧弹力F=G=40N
根据胡克定律F=kx可得，弹簧的劲度系数k=$\frac{F}{x}=\frac{40}{0.2}N/m=200N/m$
（3）小球落在弹簧至压缩到最短过程中，小球、地球、弹簧组成的系统机械能守恒．
由题意知令小球在最低点时的高度为h₃，则此时系统的机械能E′=$mg{h}_{3}+\frac{1}{2}k（1-{h}_{3}）^{2}$
又系统初始状态时的机械能E=mgh₀
由机械能守恒可得：$mg{h}_{0}=mg{h}_{3}+\frac{1}{2}k（1-{h}_{3}）^{2}$
据此可得：h₃=0.4m（另一值1.2m不合题意舍去）
答：（1）小球的质量为4kg；
（2）弹簧的劲度系数200N/m；
（3）若小球从高h₀=1.3m处由静止落下，小球下落到最低点时的高度h₃为0.4m（设小球下落过程中弹簧的形变在弹性限度内）

点评 本题关键是读懂小球所受合力与高度的关系图象和，知道合力为零时，小球所受弹力与重力平衡，掌握弹性势能的表达式是解决问题的关键．