Question

15．已知某卫星在半径为R的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，运动的周期为T，当卫星运动到轨道上的A处时适当调整速率，卫星将沿以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图所示地球的半径为R，地球的质量为M，万有引力常量为G，则下法正确的是（　　）

• A． 卫星在A点应启动发动机减速才能进入椭圆轨道
• B． 卫星在A点速度改变进入椭圆轨道后加速度立即减小
• C． 卫星沿椭圆轨道由A点运动到B点所需要的时间为$\frac{\sqrt{2}}{8}$（1+$\frac{{R}_{0}}{R}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$T
• D． 卫星在椭圆轨道上的B点和A点的速率之差一定大于$\sqrt{\frac{GM}{R{R}_{0}}}$（$\sqrt{R}$-$\sqrt{{R}_{0}}$）

Answer 1

分析 当万有引力不够提供向心力，做离心运动，当万有引力大于向心力时，做近心运动．确定周期后可确定由A到B的时间．

解答 解：A、在A点进入椭圆要做向心运动须减速，则A正确
   B、在A　速度改变进入椭圆轨道后所受引力增加，则加速度增加，则B错误
　 C、椭圆的轨道半长轴为$\frac{R+{R}_{0}}{2}$，则其周期为T′，$\frac{{T}^{2}}{T{′}^{2}}=\frac{{R}_{0}^{3}}{（\frac{R+{R}_{0}}{2}）^{3}}$　则，$T′=\frac{1}{2\sqrt{2}}（\frac{R}{{R}_{0}}+1）^{\frac{3}{2}}T$　由A到B历时$\frac{T′}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$（1+$\frac{{R}_{0}}{R}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$T，则C正确；
   D、在B点做离心运动，则速度大于$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{0}}}$，在A点做向心运动，则其速度小于$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，椭圆轨道上的B点和A点的速率之差一定大于$\sqrt{\frac{GM}{R{R}_{0}}}$（$\sqrt{R}$-$\sqrt{{R}_{0}}$），则D正确
故选：ACD．

点评 由题目的描述，飞船由A点到B点所需的时间应是椭圆轨道的半个周期．关键掌握开普勒第三定律，并能灵活运用，明确做向椭圆运动的速度条件可求解本题．