Question

8．质量为0.1kg的带正电小球处在竖直向上、范围足够大的匀强电场中，由地面静止起开始运动，6秒末电场突然消失，再经过6秒小球落回到出发点．不计空气阻力．重力加速度g取10m/s²，取地面处的重力势能和电势能为零．求：
（1）小球上升过程中小球电势能的变化量；
（2）小球运动过程中的最大机械能和最大动能；
（3）若6秒末原电场并未消失，而是大小不变，方向竖直向下，当小球的动能和重力势能相等时，小球离地的高度．

Answer 1

分析 （1）分析小球的运动情况：小球先在电场力作用下向上匀加速运动，电场消失后先向上做匀减速运动，后向下做自由落体运动．两个过程的位移大小相等、方向相反，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求电场强度，由W=qEx求得电场力做功，即可得到电势能的变化．
（2）根据电场力做的功等于机械能的变化，求最大机械能；小球落回地面时动能最大，且电场消失后机械能守恒，落回地面的动能等于电场消失时的机械能；
（3）先分析上升过程动能和势能不可能相等，根据电场力做功等于小球机械能的变化列式求解小球的动能和重力势能相等时，小球离地的高度

解答 解：（1）小球电场力作用下上升过程中，根据牛顿第二定律有：
$Eq-mg=m{a}_{1}^{\;}$
解得：${a_1}=\frac{Eq}{m}-g$，
电场消失后加速度a₂=g，
在电场作用下的位移：${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}$
${v}_{1}^{\;}={a}_{1}^{\;}t$
电场消失后：${x}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}t-\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}$
${x}_{1}^{\;}=-{x}_{2}^{\;}$
且a₂=3a₁，则：$Eq=\frac{4}{3}mg$，
${a}_{1}^{\;}=\frac{1}{3}g$
△E_电=$-{W_电}=-Eq•\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$=-80J，电势能减小了80J；
（2）电场力做的功等于机械能的变化：E_机max=W_电=80J，
小球落回地面时动能最大，且电场消失后机械能守恒，所以地面处最大动能为80J；
（3）6秒末小球速度v₁=a₁t=20m/s，对应动能为${E}_{k1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=20J，离地高度${h_1}=\frac{1}{2}{a_1}{t^2}=60m$，对应重力势能60J，
小球先上升，重力势能增大，动能减小，上升阶段动能和重力势能无法相等，
小球下落过程中，$\sum{W_电}=△{E_机}⇒Eq（{h_1}-{h_2}）=（mg{h_2}+\frac{1}{2}m{v_2}^2）-（mg{h_1}+\frac{1}{2}m{v_1}^2）$
且$mg{h_2}=\frac{1}{2}m{v_2}^2$，得：h₂=48m．
答：（1）小球上升过程中小球电势能的减小80J；
（2）小球运动过程中的最大机械能为80J和最大动能为80J；
（3）若6秒末原电场并未消失，而是大小不变，方向竖直向下，当小球的动能和重力势能相等时，小球离地的高度48m

点评 本题首先要分析小球的运动过程，采用整体法研究匀减速运动过程，抓住两个过程之间的联系：位移大小相等、方向相反，运用牛顿第二定律、运动学规律和动能定理结合进行研究．